计算乘积可被 4 整除的子数组

本文将介绍如何计算一个数组中乘积可被 4 整除的所有子数组。

问题描述

输入一个整数数组，计算其中乘积可被 4 整除的所有子数组的个数。

解决方案

方法一

遍历整个数组，对每个元素，统计乘积可被 4 整除的子数组个数。具体做法如下：

1. 定义变量 count 记录满足条件的子数组个数。
2. 定义变量 prefixProduct 记录以当前元素为结尾的所有子数组的乘积。
3. 遍历数组，对于每个元素：
   • 如果元素为偶数，将 count 加上 prefixProduct 的值，并将 prefixProduct 的值乘以 2。
   • 如果元素为奇数，将 prefixProduct 置为 1。
4. 返回 count。

代码实现如下：

def countSubarrays(nums):
    count = prefixProduct = 0
    for num in nums:
        if num % 2 == 0:
            prefixProduct = prefixProduct * 2 + 1
            count += prefixProduct
        else:
            prefixProduct = 1
    return count

方法二

方法一的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。如果数据规模较大，需要考虑优化算法。下面介绍一种时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$ 的优化算法。

假设当前子数组的左右边界分别为 left 和 right。如果区间内的所有数乘积为 4 的倍数，说明区间内必须有至少两个偶数。因此，可以通过遍历数组同时维护两个指针 left 和 right，满足区间 [left, right] 内的所有数乘积为 4 的倍数。

具体做法如下：

1. 定义变量 count 记录满足条件的子数组个数。
2. 定义变量 evenCount 记录当前区间内偶数的个数。
3. 定义变量 left 和 right，初始值均为 0。
4. 遍历数组，对于每个元素：
   • 如果元素为偶数，将 evenCount 的值加 1。
   • 如果 evenCount 大于等于 2，将 count 加上 right - left + 1。
   • 如果元素为奇数，将 evenCount 置为 0。
   • 将 right 加 1。
5. 返回 count。

代码实现如下：

def countSubarrays(nums):
    count = evenCount = left = right = 0
    for num in nums:
        if num % 2 == 0:
            evenCount += 1
        if evenCount >= 2:
            count += right - left + 1
        if num % 2 == 1:
            evenCount = 0
        right += 1
    return count

总结

本文介绍了两种方法计算乘积可被 4 整除的所有子数组的个数。方法一的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。方法二的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$，但实现较为复杂。对于数据规模较小的情况，可以选择方法一；对于数据规模较大的情况，建议选择方法二。