Java的大斐波那契数

斐波那契数是指从0，1开始，每一项都等于前两项之和的数列。例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Java中常用的斐波那契数计算方法是通过递归实现的：

public static int fibonacci(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    }
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

然而，递归实现的斐波那契数计算方法时间复杂度非常高，随着n的增大，计算时间呈指数级增长。

因此，Java 8中新增了一种更高效的斐波那契数计算方法，这种方法被称为“大斐波那契数”。

大斐波那契数是通过矩阵乘法来计算的。我们需要用到两个矩阵，如下所示：

F0 = 0    F1 = 1
     1         1

我们将这两个矩阵分别称为F0矩阵和F1矩阵。接下来，我们可以通过以下公式计算大斐波那契数：

Fn = [F1^(n+1) - F0^(n+1)] / sqrt(5)

其中，^表示矩阵的幂，/表示矩阵的除法，sqrt表示平方根。

在Java中，我们可以通过以下代码实现大斐波那契数的计算：

public static BigInteger fibonacci(int n) {
    BigInteger[] matrix = { BigInteger.ONE, BigInteger.ONE, BigInteger.ONE, BigInteger.ZERO };
    return pow(matrix, n)[1];
}

private static BigInteger[] pow(BigInteger[] matrix, int n) {
    if (n == 1) {
        return matrix;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        BigInteger[] sqrt = pow(matrix, n / 2);
        return multiply(sqrt, sqrt);
    } else {
        BigInteger[] sqrt = pow(matrix, (n - 1) / 2);
        return multiply(multiply(sqrt, sqrt), matrix);
    }
}

private static BigInteger[] multiply(BigInteger[] x, BigInteger[] y) {
    return new BigInteger[] { x[0].multiply(y[0]).add(x[1].multiply(y[2])), x[0].multiply(y[1]).add(x[1].multiply(y[3])),
            x[2].multiply(y[0]).add(x[3].multiply(y[2])), x[2].multiply(y[1]).add(x[3].multiply(y[3])) };
}

上述代码中，我们用一个四元组来表示矩阵。在大斐波那契数计算过程中，我们通过不断平方和相乘，最终得出对应的矩阵。

值得一提的是，由于计算结果可能会非常大，所以我们在Java中使用了BigInteger类来保存计算结果。

这就是Java的大斐波那契数计算方法。与递归方法相比，大斐波那契数计算方法的时间复杂度为O(logn)，效率提高了很多。