门| GATE-CS-2009 |第 60 题

本题目主要考察对动态规划的理解和应用。

题目描述

有一个由 n 个整数组成的数组 A，此外还有一个值 k。请编写一个程序，在 A 中找到一个非空不交子串，使得其中所有元素的和不等于 k。如果不存在这样的子串，则输出 "no"。

输入格式

第一行包含一个整数 n。接下来一行包含 n 个表示数组 A 中元素的整数（按顺序）。最后一行包含一个整数 k。

输出格式

输出找到的非空不交子串，使得其中所有元素的和不等于 k。如果不存在此类子串，则输出 "no"。

样例

输入样例：

7
-6 12 32 -1 -7 8 -25
0

输出样例：

1 4

解题思路

我们可以将输入的序列先处理一下，计算起始位置为 i 的 j 个元素的和 s[i][j]。那么问题就可以转化成，是否存在 i 和 j 满足 s[i][j] = k。

可以使用动态规划来解决，dp[i][j] 表示以 i 开头，长度为 j 的子序列的和。递推公式为：

dp[i][j] = dp[i][j-1] + A[i+j-1]

然后就可以用两个指针来遍历序列，查找是否有符合的子序列。具体实现可以参考以下代码：

n = int(input())
A = list(map(int, input().split()))
k = int(input())

# 初始化dp数组
dp = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(n):
    dp[i][1] = A[i]

# 计算dp数组
for j in range(2, n+1):
    for i in range(n-j+1):
        dp[i][j] = dp[i][j-1] + A[i+j-1]

# 两个指针遍历序列，查找是否有符合的子序列
for i in range(n):
    for j in range(i+1, n+1):
        if dp[i][j-i] == k:
            print(i+1, j)
            exit()

print("no")

复杂度分析

计算 dp 数组需要两层循环，时间复杂度为 $O(n^2)$，查找子串同样需要两次循环，时间复杂度为 $O(n^2)$。所以总的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。