当每个元素除以 10 时，将数组和最大化

当我们需要处理数组时，有时我们需要对数组中的每个元素都进行某种操作，然后根据操作后的结果来计算数组的某些值。本文将介绍一种常见的场景，即当数组中的每个元素都除以 10 时，如何最大化数组的和。

问题描述

假设我们有一个由 $n$ 个正整数组成的数组 $A$，我们需要找到一种方法，使得当每个元素都除以 10 时，数组 $A$ 的和最大。换句话说，我们需要找到一个新数组 $B$，其中 $b_i = \lfloor a_i / 10 \rfloor$（即将 $a_i$ 除以 10 取整），并且 $\sum_{i=1}^n b_i$ 最大。

例如，对于数组 $A = [20, 33, 56, 78]$，新数组 $B$ 为 $[2, 3, 5, 7]$，它们的和为 17。我们需要找到一种方法，使得 $B$ 中的元素和最大。

解决方案

通过观察题目可以发现，当我们将某个元素除以 10 时，它对数组和的贡献会减少 9 倍。因此，如果要求的是 $A$ 的和，那么我们可以直接将数组中的所有元素相加；但如果要求的是 $B$ 的和，我们需要对数组中的每个元素都除以 10，再将它们的和相加。

我们考虑一个简单的贪心思路：将 $A$ 中的所有元素一次次除以10，让能够减小的元素尽可能地变小。也就是说，我们找到数组 $A$ 中最小的元素 $a_{min}$，然后从数组 $A$ 中将所有小于等于 $a_{min}$ 的元素都除以 10。

因为我们每次将 $A$ 中的元素除以 10，因此每个元素经过若干次操作后肯定会被除到小于等于 $a_{min}$。因此，该方案一定是最优解之一。我们可以用循环来实现这个思路。

def max_sum_after_dividing_by_10(arr):
    ans = 0
    while True:
        a_min = min(arr)
        if a_min == 0:
            break
        i = 0
        while i < len(arr):
            if arr[i] >= a_min:
                arr[i] -= a_min
                ans += a_min // 10
            else:
                i += 1
    return ans

复杂度分析

该算法包含两个循环。外层循环会执行 $k$ 次，其中 $k$ 是 $A$ 中元素的最大值。内层循环会执行 $n$ 次，其中 $n$ 是 $A$ 的长度。因此，总时间复杂度为 $O(kn)$。在最坏情况下，即最小值为 1，数组中的所有元素都需要被除 $k$ 次，复杂度为 $O(n^2)$。

总结

本文介绍了一种常见问题，在将数组中的每个元素除以一个数后，如何最大化数组的和。我们提出了一种简单的贪心算法，即将每个元素都除以能够减小的最大值。虽然该算法的时间复杂度较高，但它易于理解、容易实现，适用范围广。