事件及其类型

每当进行的实验结果无法确定地预测时，就称为随机实验。例如，在抛硬币时，没有人可以预测结果——是正面还是反面？在这种情况下，我们只能衡量哪些事件更有可能发生或不太可能发生。这种事件的可能性是用概率来衡量的。结果称为事件，例如在上面提到的实验中，得到头部或尾部称为事件。事件也可以分为不同的类别。让我们详细研究这些类别。

活动和样品空间

进行实验时，会有一些结果是可能的，但没有一个是可以预测的。在概率和统计领域。列出任何实验的全部可能结果变得至关重要。考虑一个掷硬币两次的实验，该图显示了这种试验的可能性数量。

从图中可以看出，有四种可能的结果。样本空间是总可能结果的集合。

S = {HH，HT，TH，TT}

活动

一个事件被描述为一组结果。例如，掷硬币得到尾巴是一个事件，而掷骰子时所有偶数结果也构成一个事件。

An event is a subset of the sample space.

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事件的发生

考虑一个掷骰子的实验。假设事件 E 被定义为获得偶数。因此，如果出现数字 4，则表示事件 E 已发生。

因此，如果实验的结果 w 满足 w ∈ E，则称样本空间 S 的事件 E 已发生。当结果不属于集合 E 时，则称该结果不属于集合 E。发生了。

活动类型

现在很清楚，事件是样本空间的子集。了解在执行随机实验时可能发生的不同类型事件之间的差异至关重要。这种对事件的理解有助于我们计算简单和复杂随机实验的概率。我们知道事件基本上是固定的，因此可以根据它们所具有的元素进行分类。以下列表给出了不同类型的事件：

不可能和肯定的事件
简单事件
复合事件

让我们一一看看。

不可能和肯定的事件

要获得对此类事件的直觉，请考虑一个我们掷骰子的实验。现在让我们定义一个事件，该事件由 7 的倍数的结果组成。该事件的样本空间用 S 表示，

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

现在，由于样本空间中没有结果是 7 的倍数。所以，事件 E 的集合将是一个空集。

Since, these kinds of events are impossible and can be described by an empty set ∅. These are called impossible and sure events.

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简单事件

当一个事件只包含样本空间的一个点时，这个事件称为简单事件。

考虑前面两次抛硬币的例子，该实验的样本空间是，

S = {HH，HT，TH，TT}

事件“E”被定义为得到两条尾巴。因此，在样本空间中，只有一个结果发生。因此，这是一个简单事件的示例。

复合事件

具有多个采样点的事件称为复合事件。考虑前面的示例并将事件 E ₂定义为获得一个正面。因此，事件将由样本空间的三个点组成。

E ₂ = {HH, HT, TH}

因此，这称为复合事件。

事件代数

两个或多个集合可以使用四种不同的操作组合，联合、交集、差异和互补。由于事件只是样本空间的子集，这意味着它们也是自己设置的。以同样的方式，可以使用这些操作组合两个或多个事件。让我们考虑在样本空间 S 上定义的三个事件 A、B 和 C。

免费活动

对于每个事件A，都存在另一个事件A'，称为互补事件。它由所有不属于事件 A 的元素组成。例如，在掷硬币实验中。假设事件 A 被定义为获得一个正面。

So, A = {HT, TH, HH}

The complementary A’ of event A will be consists of all the elements in the sample space which are not in event A. Thus,

A’ = {TT}

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事件 A 或 B

两个集合 A 和 B 的并集表示为 A ∪ B。这包含集合 A、集合 B 或两者中的所有元素。此事件 A 或 B 定义为，

Event A or B = A ∪ B

= {w : w ∈ A or w ∈ B}

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事件 A 和 B

两个集合 A 和 B 的交集表示为 A ∩ B。这包含集合 A 和集合 B 中的所有元素。此事件 A 和 B 定义为，

Event A and B = A ∩ B

= {w: w ∈ A and w ∈ B}

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事件 A 但不是 B

集合差 A – B 由所有在 A 但不在 B 中的元素组成。事件 A 而不是 B 被定义为，

A but not B = A – B

= A ∩ B’

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使用这些概念定义了另外两种类型的事件。让我们看看他们。

互斥事件

如果两个事件不能同时发生，则称两个事件 A 和 B 互斥。在这种情况下，集合 A 和 B 是不相交的。

A ∩ B = ∅

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例如，考虑掷骰子，

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

现在，事件 A 被定义为“获得偶数”，而事件 B 被定义为“获得奇数”。现在，这两个事件不能同时发生。

A = {2, 4, 6} 和 B = {1, 3, 5}。因此，这两个集合之间的交集是一个空集合。

详尽的事件

如果满足以下条件，事件 A、B 和 C 将被称为穷举事件：

A ∪ B ∪ C = S

In a more general setting, events E₁, E₂…….E_n is called exhaustive events if,

E₁∪ E₂…. ∪ E_n = S

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例如，假设进行两次抛硬币实验，

A = 至少获得一个人头。

B = 得到两条尾巴。

A = {HT, TH, HH} 和 B = {TT}

因此，A ∪ B = S

概率的公理化方法

对于随机实验，让 S 定义一个样本空间。概率 P 是一个实值函数，其域是 S 的幂集，范围在 [0, 1] 之间。直观地说，它衡量发生某些事件的机会。任何事件的概率必须满足以下公理：

对于任何事件 E，P(E) ≤ 1。
P(S) = 1
如果 E 和 F 是互斥事件，则 P(E ∪ F) = P(E) + P(F)

第三个公理可以推广到 n 个事件，

P(E ₁ ∪ E ₂ .... ∪ E _n ) = P(E ₁ ) + P(E ₂ ) + .. P(E _n )

示例问题

问题 1：考虑抛一个公平硬币 3 次的实验，事件 A 定义为得到所有反面。这是什么活动？

回答：

Sample space for the coin toss will be,

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

For the event A,

A = {TTT}

This event is only mapped to one element of sample space. Thus, it is a simple event.

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问题2：假设抛硬币一次，请说明以下陈述是对还是错。

“如果我们定义一个事件 X，这意味着正面和反面。这次活动将是一个简单的活动。”

回答：

When a coin it tossed, there can be only two outcomes, Heads or Tails.

S = {H, T}

Getting both Heads and Tails is not possible, thus event X is an empty set.

Thus, it is an impossible and sure event. So, this statement is False.

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问题 3：掷骰子，三个事件 A、B和 C 定义如下：

A: 得到一个大于 3 的数
B：得到一个是 3 的倍数的数。
C：得到一个奇数

求 A ∩ B、A ∩ B ∩ C 和 A ∪ B。

回答：

Sample space for die roll will be,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

For the event A,

A = {4, 5, 6}

For the event B,

B = {3, 6}

For the event C,

C = {1, 3, 5}

A ∩ B = {4, 5, 6} ∩ {3, 6}

= {6}

A ∩ B ∩ C = {4, 5, 6} ∩ {3, 6} ∩ {1, 3, 5}

= ∅ (Empty Set)

A ∪ B = {4, 5, 6} ∪ {3, 6}

= {3, 4, 5, 6}

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问题4：掷骰子，让我们定义两个事件，事件A得到2号，事件B得到偶数。这些事件是否相互排斥？

回答：

Sample space for die roll will be,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

For the event A,

A = {2}

For the event B,

B = {2, 4, 6}

For two events to be mutually exclusive, their intersection must be an empty set

A ∩ B = {2} ∩ {2, 4, 6}

= {2}

Since it is not an empty set, these events are not mutually exclusive.

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