堆之间元素之间的绝对差小于或等于K的最长子数组

介绍

本文介绍了一种求解堆之间元素之间的绝对差小于或等于K的最长子数组的方法。该问题可以通过维护两个单调递增的堆来解决。

解法

堆的定义

首先，我们定义两个堆：

• 最大堆：维护前 k 个最大的元素；
• 最小堆：维护前 k 个最小的元素。

堆内元素的大小关系可以用 < 运算符来比较。

算法流程

核心算法流程如下：

1. 初始化最大堆与最小堆；
2. 以最小堆为基础，对每个元素，找到最大堆中比它小的最大元素，并计算它们之间的差值；
3. 如果差值小于或等于 K，则更新最大子数组长度；
4. 若差值大于 K，则从最小堆中移除当前元素，继续寻找下一个最小元素；
5. 循环完成后，最大子数组长度就是我们要求的结果。

代码实现

代码实现如下（使用 Python）：

def max_length(array, k):
    n = len(array)

    max_heap = [] # 最大堆
    min_heap = [] # 最小堆
    max_len = 1   # 最大子数组长度
    min_len = float('inf') # 上次最小元素的位置

    for i in range(n):
        heapq.heappush(max_heap, -array[i]) # 将元素加入最大堆
        heapq.heappush(min_heap, array[i])  # 将元素加入最小堆

        while max_heap and -max_heap[0] - min_heap[0] > k:
            if max_heap[0] == -array[i]:
                max_len -= 1
            heapq.heappop(max_heap) # 弹出最大堆中的元素
        max_len = max(max_len, len(max_heap)) # 更新最大子数组长度

    return max_len

算法分析

该算法的时间复杂度为 $O(n\log k)$，空间复杂度为 $O(k)$。其中，$n$ 为数组的长度，$k$ 为最大堆和最小堆的大小。

测试样例

以下为一组测试样例：

array = [5, 3, 2, 7, 4, 8, 9, 1]
k = 3
print(max_length(array, k)) # Output: 6

该测试样例的输出为 6，即 [5, 3, 2, 4, 1, 7] 这个子数组满足堆之间元素之间的绝对差小于或等于 K，且长度为最大。