有限自动机的介绍和应用

什么是有限自动机？

有限自动机（Finite Automaton）是一种计算模型，它由五元组（Q, Σ, δ, q0, F）组成，其中：

• Q：状态集合
• Σ：输入字母表
• δ：状态转移函数
• q0：初始状态
• F：接受状态集合

有限自动机可以用于模式匹配、语法分析、密码学等领域。在程序设计中，我们可以用有限自动机模拟各种运算，例如 1 的补码、2 的补码等。

1 的补码

1 的补码是计算机中用于表示负数的一种方法。对于一个 n 位二进制数，它的一的补码是将每个二进制位上的 0 变为 1，1 变为 0，然后再将结果加上 1。

例如，对于 4 位二进制数 0101，它的一的补码是 1011。

我们可以使用有限自动机来计算一个二进制数的一的补码。我们假设输入的二进制数都是 n 位长。

首先，我们需要定义状态集合 Q。对于一个 n 位长的二进制数，它的状态集合可以定义为 Q = {0, 1, ..., n-1}，表示当前正在处理第 i 位二进制数。

其次，我们需要定义输入字母表 Σ。输入字母表可以定义为 Σ = {0, 1}，表示二进制数中可能出现的数字。

然后，我们需要定义状态转移函数 δ。我们需要考虑以下几个方面：

• 如果当前位是 0，那么它的一的补码就是 1。
• 如果当前位是 1，那么它的一的补码就是 0，并向高位进位。

因此，我们可以定义状态转移函数为：

δ(i, 0) = (i, 1)
δ(i, 1) = (i+1, 0)

其中，δ(i, 0) 表示在处理第 i 位时，遇到输入 0 导致的状态转移；δ(i, 1) 表示遇到输入 1 导致的状态转移。状态转移的结果是一个二元组 (j, k)，表示当前处理到第 j 位，并且上一位进位标志为 k（0 表示不进位，1 表示进位）。

最后，我们需要定义初始状态 q0 和接受状态集合 F。初始状态 q0 = 0，则表示我们从第 0 位开始处理；接受状态集合 F = {n}，表示处理完第 n 位后停止。

使用 Python 代码实现这个有限自动机：

def one_complement(inp):
    n = len(inp)
    q0 = 0
    F = {n}
    cur = q0
    carry = 1
    for i in range(n):
        if carry == 0:
            next_cur, next_carry = cur, int(inp[i])
        else:
            next_cur, next_carry = (cur+1, 1) if inp[i] == '1' else (cur, 0)
        cur, carry = next_cur, next_carry
        if cur in F:
            break
    res = ''.join(['1' if b == '0' else '0' for b in inp[:cur]])
    res += inp[cur:]
    return res

2 的补码

2 的补码是计算机中用于表示负数的另一种方法。对于一个 n 位二进制数，它的一的补码是将每个二进制位上的 0 变为 1，1 变为 0，然后再将结果加上 1。

例如，对于 4 位二进制数 0101，它的二的补码是 1010。

我们可以使用有限自动机来计算一个二进制数的二的补码。使用和一的补码类似的方法，我们可以得到状态集合、输入字母表和状态转移函数：

def two_complement(inp):
    n = len(inp)
    q0 = 0
    F = {n}
    cur = q0
    carry = 1
    for i in range(n):
        if carry == 0:
            next_cur, next_carry = cur, int(inp[i])
        else:
            next_cur, next_carry = (cur+1, 1) if inp[i] == '1' else (cur, 0)
        cur, carry = next_cur, next_carry
        if cur in F:
            break
    res = ''.join(['1' if b == '0' else '0' for b in inp[cur:]])
    res = ''.join(['1' if b == '0' else '0' for b in inp[:cur]]) + res
    return res

总结

有限自动机是一种强有力的计算模型，常常被用于模式匹配、语法分析、密码学等领域。我们可以使用有限自动机来计算各种运算，例如 1 的补码、2 的补码。在详细理解有限自动机的基础上，我们可以将它应用到自己的程序中。