分割二进制数以使每个部分都可被2整除的方式的数量

这是一个计算分割二进制数以使每个部分都可被2整除的数量的算法。

算法描述

给定一个二进制数，如 101110，要求将其分割成若干部分，使得每一部分都可以被2整除。对于这个例子，一种合法的分割方式是：10、11、10。另一种合法的分割方式是：101、110。

在本算法中，我们可以将二进制数看成是由若干个 0 和 1 序列构成的。我们从左到右遍历这个序列，每当遇到一个 1，就把当前位置向右延伸的 1 的个数统计下来。显然，对于每一个这样的 1 的位置作为切割点，都可以得到一种合法的分割方式。例如在 101110 中，第2个和第4个位置都是 1，它们之间的一段 011 可以被分割为 01 和 10，符合要求。

那么我们只需要将所有这样的切割点枚举出来，对于每个切割点求出所能得到的方案数，最后将结果相加即可。假设第 i 个位置是切割点，则它的左边和右边的二进制数必须都是偶数，因此左右两边所能提供的贡献分别是左边 1 的个数和右边 1 的个数。

算法实现

下面是 Python 代码实现：

def count_valid_splits(binary_string: str) -> int:
    n = len(binary_string)
    count = 0
    ones_count = [0] * n
    for i, c in enumerate(binary_string):
        if c == '1':
            ones_count[i] = ones_count[i-1] + 1 if i > 0 else 1
    for i in range(1, n-1):
        if binary_string[i] == '1':
            left_ones = ones_count[i-1]
            right_ones = ones_count[n-1] - ones_count[i]
            if left_ones % 2 == 0 and right_ones % 2 == 0:
                count += 1
    return count

算法分析

解释一下实现中的各个步骤：

1. 统计每个位置左侧的 1 的个数，放在 ones_count 列表中。这一步的时间复杂度是 $O(n)$。
2. 枚举每个切割点，计算左右两边的 1 的个数。这一步的时间复杂度是 $O(n)$。
3. 如果左右两边的 1 的个数都是偶数，就将结果计入最后的方案数中。这一步的时间复杂度是 $O(1)$。

因此，算法的总时间复杂度是 $O(n)$。

总结

在这个算法中，我们从直觉出发，将二进制数看成由若干个 0 和 1 组成的序列，然后求出所有切割点的贡献，最后将结果相加得到答案。算法本身并不难，但是需要一定的思维能力。