添加最少的边数以满足给定条件

在一张图中，有时候我们需要添加一些边（线）来满足一些条件，比如让整个图联通、让图成为一棵树、让图具有欧拉回路等。但是我们又希望添加的边尽可能的少。

下面介绍几个常见的图论问题，以及如何用最少的边数来满足条件。

1. 让整个图联通

如果一张图不是联通的，可以考虑添加一些边让它变成联通的。但是我们又想让添加的边尽可能的少。

假设我们现在有一个无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点集合，$E$ 是边的集合。我们可以用深度优先搜索（DFS）来遍历整个图，找到所有不连通的节点对 $(u,v)$。然后针对每一对节点 $(u,v)$，我们都添加一条边 $(u,v)$，直到整个图联通为止。

这个算法的时间复杂度是 $O(|V|+|E|)$，其中 $|V|$ 是节点的数量，$|E|$ 是边的数量。

2. 让图成为一棵树

如果一张图不是一棵树，可以考虑添加一些边让它变成一棵树。但是我们又希望添加的边尽可能的少。

假设我们现在有一个无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点集合，$E$ 是边的集合。我们可以先判断图是否是连通的。如果图不是连通的，那么我们需要先让它联通，可以用上面提到的算法。然后我们就得到了一张连通的无向图。

接着，我们知道一棵树有 $n-1$ 条边，$n$ 是节点的数量。因此，我们可以考虑删除一些边，使得图成为一棵树。具体来说，我们可以用 DFS 遍历整个图，并且在遍历的过程中维护每个节点的父亲节点（除根节点外），如果发现一个节点的两个祖先节点相同，那么就代表当前节点已经在环上了。我们可以在这里将当前节点的祖先节点与当前节点之间的边删除，直到整个图变成一棵树为止。

这个算法的时间复杂度是 $O(|V|+|E|)$，其中 $|V|$ 是节点的数量，$|E|$ 是边的数量。

3. 让图具有欧拉回路

一个图具有欧拉回路，当且仅当该图是联通的，并且每个节点的度数都是偶数。

如果一个图不具有欧拉回路，我们需要添加一些边来让它具有欧拉回路。但是我们又希望添加的边尽可能的少。

具体做法是：我们可以先判断当前图是否是连通的，如果不是，那么我们需要使用上面提到的算法，让它连通。之后，我们遍历每个节点，如果节点的度数是奇数，那么我们可以在当前节点与与它度数最接近的另一个奇度数节点之间添加一条边，这样就可以将它们的度数都变成偶数。 为了使添加的边尽可能少，我们可以从当前节点的度数最大的奇数开始，依次添加边，直到没有奇度数的节点。

这个算法的时间复杂度也是 $O(|V|+|E|)$，其中 $|V|$ 是节点的数量，$|E|$ 是边的数量。

参考资料：

1. How to find minimum number of edges to make a graph connected?
2. Minimum number of edges to be added in a Graph to make it a Tree
3. Add minimum number of edges to make Euler Circuit in undirected graph