连续时间LTI系统的分析可以使用z变换完成。它是将微分方程式转换为代数方程式的强大数学工具。

离散时间信号x(n)的双边(两侧)z转换为

$ ZT [x(n)] = X(Z)= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)z ^ {-n} $

离散时间信号x(n)的单边(单侧)z转换为

$ ZT [x(n)] = X(Z)= \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x(n)z ^ {-n} $

对于某些不存在离散时间傅立叶变换(DTFT)的信号，可能存在Z变换。

Z变换和逆Z变换的概念

离散时间信号x(n)的Z变换可以用X(Z)表示，定义为

$ X(Z)= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)z ^ {-n} \，… \，… \，(1)$

如果$ Z = re ^ {j \ omega} $，则等式1变为

$ X(re ^ {j \ omega})= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)[re ^ {j \ omega}] ^ {-n} $

$ = \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)[r ^ {-n}] e ^ {-j \ omega n} $

$ X(re ^ {j \ omega})= X(Z)= FT [x(n)r ^ {-n}] \，… \，… \，(2)$

上式表示傅立叶变换和Z变换之间的关系。

$ X(Z)| _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x(n)]。 $

Z逆变换

$ X(re ^ {j \ omega})= FT [x(n)r ^ {-n}] $

$ x(n)r ^ {-n} = FT ^ {-1} [X(re ^ {j \ omega}] $

$ x(n)= r ^ n \，FT ^ {-1} [X(re ^ {j \ omega})] $

$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X(re {^ j \ omega})e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X(re {^ j \ omega})[re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \，… \，… \，(3) $

替换$ re ^ {j \ omega} = z $。

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {-1} dz $

代入方程式3。

$ 3 \，\ to \，x(n)= {1 \ over 2 \ pi} \ int \，X(z)z ^ n {1 \ over j} z ^ {-1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \，X(z)z ^ {n-1} dz $