Z变换具有以下属性：

线性特性

如果$ \，x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

和$ \，y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$

然后，线性属性指出

$ a \，x(n)+ b \，y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} a \，X(Z)+ b \，Y(Z)$

时移属性

如果$ \，x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

然后，时移属性指出

$ x(nm)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} z ^ {-m} X(Z)$

乘以指数序列属性

如果$ \，x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

然后乘以一个指数序列属性表示

$ a ^ n \，。 x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z / a)$

时间反转属性

如果$ \，x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

然后，时间反转属性指出

$ x(-n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(1 / Z)$

Z域或n属性相乘的微分

如果$ \，x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

然后乘以n或z域属性的微分表示

$ n ^ kx(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} [-1] ^ kz ^ k {d ^ k X(Z)\ over dZ ^ K} $

卷积性质

如果$ \，x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

和$ \，y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$

然后卷积属性指出

$ x(n)* y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$

相关属性

如果$ \，x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

和$ \，y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$

然后相关属性指出

$ x(n)\ otimes y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z).Y(Z ^ {-1})$

初始值和最终值定理

为因果信号定义了z变换的初始值和最终值定理。

初值定理

对于因果信号x(n)，初始值定理指出：

$ x(0)= \ lim_ {z \ to \ infty}⁡X(z)$

这用于查找信号的初始值而无需进行反z变换

终值定理

对于因果信号x(n)，最终值定理指出：

$ x(\ infty)= \ lim_ {z \ to 1} [z-1]⁡X(z)$

这用于查找信号的最终值而无需进行反z变换。

Z变换的收敛区域(ROC)

z变换收敛的z的变化范围称为z变换收敛的区域。

Z变换的ROC属性

• z转换的ROC用z平面中的圆圈表示。

• ROC不包含任何极点。

• 如果x(n)是有限持续时间的因果序列或右侧序列，则ROC是整个z平面，除了z = 0时。

• 如果x(n)是有限持续时间的反因果序列或左侧序列，则ROC是整个z平面，除了z =∞时。

• 如果x(n)是无限持续时间的因果序列，则ROC在半径为aie | z |的圆的外部。 >一个

• 如果x(n)是无限持续时间的因果序列，则ROC是半径为aie | z |的圆的内部。

• 如果x(n)是有限持续时间的两侧序列，则ROC是整个z平面，除了z = 0和z =∞时。

ROC的概念可以通过以下示例进行解释：

示例1：找到$ a ^ nu [n] + a ^ {-} nu [-n-1] $的z变换和ROC

$ ZT [a ^ nu [n]] + ZT [a ^ {-n} u [-n-1]] = {Z \ over Za} + {Z \ over Z {-1 \ over a}} $

$$ ROC：| z | \ gt一个\ quad \ quad ROC：| z | \ lt {1 \ over a} $$

ROC的图有两个条件，分别是> 1和<1，因为您不知道a。

在这种情况下，没有ROC组合。

在这里，ROC的组合来自$ a \ lt | z | \ lt {1 \ over a} $

因此，对于此问题，当a <1时，可以进行z变换。

因果关系和稳定性

离散时间LTI系统的因果条件如下：

离散时间LTI系统在

• ROC在最外面的极点之外。

• 在传递函数H [Z]中，分子的阶次不能比分母的阶次大。

离散时间LTI系统的稳定性条件

离散时间LTI系统在以下情况下是稳定的

• 它的系统函数H [Z]包括单位圆| z | = 1。

• 传递函数的所有极点都位于单位圆| z | = 1内。

基本信号的Z变换