逻辑本来只是研究区分声音论证和声音论证的一种方法，如今已发展成为一个强大而严格的系统，在已知其他陈述为真的情况下，也可以发现真实的陈述。

谓词逻辑

该逻辑处理谓词，谓词是包含变量的命题。

谓词是在某个特定域上定义的一个或多个变量的表达式。通过给变量赋值或量化变量，可以使带有变量的谓词成为命题。

以下是谓词的一些示例-

• 令E(x，y)表示“ x = y”
• 令X(a，b，c)表示“ a + b + c = 0”
• 令M(x，y)表示“ x已嫁给y”

命题逻辑

命题是具有真值“ true”或真值“ false”的声明性语句的集合，命题由命题变量和连接词组成，命题变量由大写字母(A，B等)限定。连词连接命题变量。

命题的一些例子在下面给出-

• “人是凡人”，它返回真值“ TRUE”
• “ 12 + 9 = 3 – 2”，它将返回真值“ FALSE”

以下不是命题-

• “ A小于2” -这是因为除非我们给出特定的A值，否则我们无法说出该语句是对还是错。

连接词

在命题逻辑中，我们使用以下五个连接词-

• 或(∨∨)
• AND(∧∧)
• 否定/非(¬¬)
• 隐含/ if-then(→→)
• 当且仅当(⇔⇔)

或(∨∨)

如果命题变量A或B中至少任何一个为真，则两个命题A和B(写为A∨BA∨B)的OR运算为true。

真值表如下-

AND(∧∧)

如果命题变量A和B都为真，则两个命题A和B(写为A∧BA∧B)的AND运算为真。

真值表如下-

否定(¬¬)

命题A(写为¬A¬A)的取反在A为true时为假，在A为false时为真。

真值表如下-

隐含/ if-then(→→)

含义A→BA→B是命题“如果A，则B”。如果A为真，B为假，则为假。其余情况是正确的。

真值表如下-

当且仅当(⇔⇔)

“⇔BA⇔B”是双条件逻辑连接词，当p和q相同时(即，两者均为假或均为真实)，该条件为真。

真值表如下-

格式正确的公式

格式正确的公式(wff)是包含以下条件之一的谓词-

• 所有命题常数和命题变量都是wffs。
• 如果x是变量且Y是wff，则xy和xy也是wff。
• 真值和假值是wffs。
• 每个原子公式都是wff。
• 所有连接wff的连接词都是wff。

量词

谓词变量由量词量化。谓词逻辑中的量词有两种-

• 通用量词
• 存在量词

通用量词

通用量词指出，其范围内的语句对于特定变量的每个值都是正确的。用符号∀表示。

∀xP(x)读为x的每个值，P(x)为true。

例子-“人是凡人”可以转化为命题形式∀xP(x)。在这里，P(x)是谓词，它表示x是凡人，并且论述的宇宙是所有人。

存在量词

存在量词指出其范围内的语句对于特定变量的某些值是正确的。用符号∃表示。

对于x的某些值，将xP(x)读为P(x)为true。

示例-“某些人不诚实”可以转换为命题形式∃xP(x)，其中P(x)是谓词，表示x是不诚实的，而话语的范围是某些人。

嵌套量词

如果我们使用出现在另一个量词范围内的量词，则称为嵌套量词。

例

• ∀a∃bP(x，y)其中P(a，b)表示a + b = 0
• ∀a∀b∀cP(a，b，c)其中P(a，b)表示a +(b + c)=(a + b)+ c

注意-∀a∃bP(x，y)≠∃a∀bP(x，y)