在本章中，我们将详细了解Robertson-Walker度量标准。

比例因子随时间变化的模型

假设从一个遥远的星系发出光子。该空间在各个方向上都是光子的前向。宇宙的膨胀是全方位的。让我们看看以下步骤中比例因子如何随时间变化。

步骤1-对于静态宇宙，比例因子为1，即，comoving distance的值是物体之间的距离。

步骤2-下图是仍在扩展但以递减速率的宇宙图，这意味着该图将从过去开始。 t = 0表示宇宙从该点开始。

步骤3-下图是宇宙以更快速度扩展的图形。

步骤4-下图是从现在开始收缩的宇宙图。

如果在宇宙收缩期间比例因子的值变为0 ，则表示对象之间的距离变为0 ，即适当的距离变为0 。共同移动距离(即当前宇宙中物体之间的距离)是一个常数。将来，当比例因子变为0时，一切都会越来越近。模型取决于宇宙的组成部分。

平面(欧几里得：没有曲率参数)扩展宇宙的度量为-

$$ ds ^ 2 = a ^ 2(t)\ left(dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right)$$

对于时空，我们在上式中获得的线元素被修改为-

$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2-\ left \ {a ^ 2(t)\ left(dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right)\ right \} $$

对于空间–时间，光子的发射时间与检测到的时间不同。适当的距离是到物体的瞬时距离，由于宇宙的膨胀，该距离可能随时间变化。它是光子从不同物体传播到我们的距离。它与共同移动距离有关-

$$ d_p = a(t)\ d_c $$

其中$ d_p $是适当的距离，而$ d_c $是共同移动的距离，该距离是固定的。

到当前宇宙中物体的测量距离被视为共同移动距离，这意味着共同移动距离是固定的，并且由于扩展而不变。对于过去，比例因子小于1，这表明适当的距离较小。

我们可以测量到银河系的红移。因此，适当的距离$ d_p $对应于$ c \ times t(z)$，其中$ t(z)$是向红移的回溯时间，c是真空中的光速。回溯时间是红移(z)的函数。

基于以上概念，让我们分析在$ d_p = a(t)\ times d_c $的情况下如何解释宇宙学红移。

假设银河G发射了一个光子(与地球绑定)。$ t_ {em} $对应于光子发射的时间； $ a(t_ {em})$是发射光子时的比例因子。到检测光子时，整个宇宙已经膨胀，即光子在检测时发生了红移。 $ t_ {obs} $对应于检测到光子的时间，相应的比例因子为$ a(t_ {obs})$。

宇宙成长的因子为-

$$ \ frac {a(t_ {obs})} {a(t_ {em})} $$

波长扩展的因子是-

$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

这等于宇宙增长的因子。这些符号具有其通常的含义。因此，

$$ \ frac {a(t_ {obs})} {a(t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

我们知道红移(z)是-

$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs}-\ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}}-1 $$

$$ 1 + z = \ frac {a(t_ {obs})} {a(t_ {em})} $$

比例因子的当前值为1，因此$ a(t_ {obs})= 1 $，表示过去以$ a(t)$发射光子时的比例因子。

因此，

$$ 1 + z = \ frac {1} {a(t)} $$

宇宙学中的红移的解释

为了理解这一点，让我们以下面的示例为例：如果$ z = 2 $，则$ a(t)= 1/3 $。

这意味着自从光线离开该物体以来，宇宙已经膨胀了三倍。接收到的辐射的波长扩展了三倍，因为在从发射对象传输过程中空间扩展了相同的因子。应该注意的是，在z值如此大的情况下，红移主要是宇宙学的红移，它并不是物体相对于我们的实际后退速度的有效度量。

对于宇宙微波背景(CMB)， z = 1089 ，这意味着当前宇宙已经扩展了约1090倍。平坦的，欧几里得展开的宇宙的度量为-

$$ ds ^ 2 = a ^ 2(t)(dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2)$$

我们希望以任何曲率书写度量。

Robertson和Walker证明了对于任何曲率宇宙(均质和各向同性)，该度量为-

$$ ds ^ 2 = a ^ 2(t)\ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right] $$

这通常被称为Robertson-Walker度量标准，适用于任何空间拓扑。请注意$ dr ^ 2 $中的额外因素。 𝑘是曲率常数。

宇宙的几何

借助以下曲率解释了宇宙的几何，其中包括：

• 正曲率
• 负曲率
• 零曲率

让我们详细了解每个。

正曲率

如果在曲率表面上的任何点绘制的切平面在表面上的任何点都不相交，则称为具有正曲率的表面，即该表面在该点处停留在切平面的一侧。球体的表面具有正曲率。

负曲率

如果在曲率表面上的一点处绘制的切平面在该表面上的任何点处相交，则称为具有负曲率的表面，即该表面在两个不同的方向上偏离切线曲面。鞍形表面具有负曲率。

现在考虑一个球体的表面。如果通过将三个点与测地线(大圆弧)连接在一起而在球体表面上构建了三角形，则该球面三角形的内角之和大于180 ^o ，即-

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$

这种空间称为正弯曲空间。而且，曲率是均匀且各向同性的。通常，球形三角形的顶点处的角度遵循以下关系：

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$

其中A是三角形的面积， R是球体的半径。下图描绘了一个正弯曲的空间。

对于正曲率，平行线应相交。考虑地球表面，它是一个正弯曲的空间。在赤道上取两个起点。与赤道成直角相交的线称为经度线。由于这些线与赤道成直角相交，因此可以将它们称为平行线。从赤道开始，它们最终在两极相交。卡尔·高斯和其他人使用此方法来了解地球的拓扑。

考虑负向弯曲的空间(下图所示的鞍形)，三角形的内角之和小于180 ^o ，即-

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$

顶点的角度遵循以下关系：

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi-A / R ^ 2 $$

零曲率

平面具有零曲率。现在对于平坦空间，如果采用一个平面并通过将三个点与测地线(直线)连接而构成一个三角形，则角度的内部和为-

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$

下图是平面二维空间。

如果希望一个空间是均匀且各向同性的，则只剩下三种可能性：该空间可以是均匀平坦的，或者可以具有均匀的正曲率，或者可以具有均匀的负曲率。

曲率常数可以采用以下三个值中的任何一个。

$$ k = \ begin {cases + 1)，＆for \：a \：正数\：弯曲\：空间; \\\ quad 0，＆for \：a \：平面\：空间; \\-1， ＆for \：一个\：负数\：弯曲\：空格; \ end {cases} $$

宇宙的全球拓扑

宇宙具有一定的拓扑结构，但局部会出现皱纹。取决于物质在空间中的分布方式，曲率的变化较小。让我们假设存在一类具有相同真实大小的对象，无论它在宇宙中处于何处，这意味着它们就像标准蜡烛一样。它们没有相同的亮度，但是它们具有相同的大小。

如果物体在正曲面空间中，并且光子来自点A(物体的一端)和点B(物体的另一端)，则光子将在正曲面空间中通过测地线平行传播，并最终会合。对于C语言的观察者来说，它似乎来自不同方向上的两个不同点。

如果对象在局部宇宙中并且我们测量了角度大小，则它不受曲率的影响。如果在更大的红移下看到相同类别的对象，则角度大小不相关。

$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$

其中d是对象的大小， r是到对象的距离，即，如果大小大于局部大小，则表示曲率为正。下图是在正弯曲空间中检测到的光子的表示。

要注意的是，不存在具有标准尺寸和形态的真实天体物体。尽管据认为巨大的椭圆cD-星系适合标准蜡烛，但也发现它们随时间而发展。

寻找到星系的距离

在本节中，我们将讨论如何通过考虑以下图像来找到距银河系的距离。

考虑宇宙静止框架中在(r，θ，)处的银河系。一个可以取𝑟= 0; (0，θ，＆varphi;)，即通过调用同质性假设得出的宇宙中心。

考虑在(r1，θ，)处的星系’G’。距离(适当)是光子传播的最短径向距离。从空间-时间的对称性来看，从r = 0到r = r1的零地线在空间中具有恒定的方向。在其径向传播中，角坐标不变。如果角度坐标发生变化，则它不是最短的路径。这就是为什么在dr ^2中存在曲率项的原因。

要记住的要点

• 宇宙的膨胀是全方位的。

• 宇宙可以是静态的，扩展的或收缩的，具体取决于比例因子的演变。

• cD星系会随着时间而发展，因此不能用作标准蜡烛。

• 宇宙具有一定的拓扑结构，但局部会出现皱纹。