在本章中，我们将讨论哈勃参数以及比例因子。

• 先决条件-宇宙学红移，宇宙学原理。

• 假设-宇宙是同质的，各向同性的。

哈勃常数与比例因子的分数变化率

在本节中，我们将把哈勃常数与比例因子变化的分数相关。

我们可以按照以下方式编写速度并进行简化。

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$$

$$ = \ frac {d [a(t)r_c} {dt} $$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast(ar_c)$$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$

这里， v是后退速度， a是比例因子， r _p是星系之间的适当距离。

哈勃的经验公式是自然的-

$$ v = H \ ast r_p $$

因此，比较以上两个方程，我们得到-

哈勃参数=比例因子的分数变化率

$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$

注-这不是常数，因为比例因子是时间的函数。因此，它被称为哈勃参数，而不是哈勃常数。

根据经验我们写-

$$ H = V / D $$

因此，根据该方程式，我们可以推断出，由于D在增加，而V是常数，因此H随着宇宙的时间和膨胀而减少。

与Robertson-Walker模型结合的Friedmann方程

在本节中，我们将了解如何将Friedmann方程与Robertson-Walker模型结合使用。为了理解这一点，让我们以下面的图像为例，该图像在距质量体M的距离r _p处具有测试质量。

考虑到以上图像，我们可以将力表示为-

$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$

在这里， G是万有引力常数，ρ是可观测宇宙内部的物质密度。

现在，假设球体内的质量密度均匀，我们可以这样写：

$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$

在力方程中使用这些，我们得到-

$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$

因此，我们可以将质量m的势能和动能写为-

$$ V =-\ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$

$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$$

使用维里定理–

$$ U = KE + V $$

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left(\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right)^ 2-\ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

但是这里，$ r_p = ar_c $。因此，我们得到-

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left(\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right)^ 2 r_c ^ 2-\ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

进一步简化，我们得到弗里德曼方程，

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$

这里U是一个常数。我们还注意到，我们目前生活的宇宙是由物质控制的，而辐射能量密度却很低。

要记住的要点

• 哈勃参数随着时间和宇宙膨胀而减小。

• 目前我们生活的宇宙由物质控制，辐射能量密度非常低。