在本章中，让我们计算在接收机处解调的各种调制波的信噪比和品质因数。

信噪比

信噪比(SNR)是信号功率与噪声功率之比。 SNR值越高，接收到的输出质量就越高。

可以使用以下公式计算不同点的信噪比。

输入SNR = $ \ left(SNR \ right)_I = \ frac {平均\：\：功率\：\：of \：\：调制\：\：信号} {Average \：\ :: power \：\：of \：\：噪声\：\：在\：\：输入} $

输出SNR = $ \左(SNR \ right)_O = \ frac {平均\：\：功率\：\：of \：\：已解调\：\：信号} {Average \：\ :: power \：\：of \：\：噪声\：\：在\：\：输出} $

通道SNR = $ \ left(SNR \ right)_C = \ frac {平均\：\：功率\：\：of \：\：调制的\：\：信号} {Average \：\ :: power \：\：of \：\：noise \：\：in \：\：message \：\：bandwidth} $

功绩图

输出信噪比与输入信噪比之比可以称为品质因数。用F表示。它描述了设备的性能。

$$ F = \ frac {\ left(SNR \ right)_O} {\ left(SNR \ right __I} $$

接收机的优值是

$$ F = \ frac {\ left(SNR \ right)_O} {\ left(SNR \ right __C} $$

之所以如此，是因为对于接收机而言，通道就是输入。

AM系统中的SNR计算

考虑以下AM系统的接收机模型来分析噪声。

我们知道调幅(AM)波是

$$ s \ left(t \ right)= A_c \ left [1 + k_am \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

$$ \ Rightarrow s \ left(t \ right)= A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ A_ck_am \ left(t \ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

AM波的平均功率为

$$ P_s = \ left(\ frac {A_c} {\ sqrt {2}} \ right)^ 2 + \ left(\ frac {A_ck_am \ left(t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2} $ $

$$ \ Rightarrow P_s = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left(1+ {k_ {a}} ^ {2} P \ right)} {2} $$

消息带宽中的平均噪声功率为

$$ P_ {nc} = WN_0 $$

将这些值代入信道SNR公式

$$ \ left(SNR \ right)_ {C，AM} = \ frac {Average \：\：Power \：\：of \：\：AM \：\：Wave} {Average \：\：Power \： \：of \：\：噪声\：\：in \：\：消息\：\：带宽} $$

$$ \ Rightarrow \ left(SNR \ right)_ {C，AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left(1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right)P } {2WN_0} $$

哪里，

• P是消息信号的幂= $ \ frac {{A_ {m}} ^ {2}} {2} $

• W是消息带宽

假定带通噪声在通道中与AM波混合，如上图所示。此组合应用于AM解调器的输入。因此，AM解调器的输入为。

$$ v \ left(t \ right)= s \ left(t \ right)+ n \ left(t \ right)$$

$ \ Rightarrow v \ left(t \ right)= A_c \ left [1 + k_am \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ $

$ \ left [n_1 \ left(t \ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)-n_Q \ left(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ right] $

$ \ Rightarrow v \ left(t \ right)= \ left [A_c + A_ck_am \ left(t \ right)+ n_1 \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)- n_Q \ left(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)$

其中$ n_I \ left(t \ right)$和$ n_Q \ left(t \ right)$在噪声的相位和正交相位分量中。

AM解调器的输出只是上述信号的包络。

$$ d \ left(t \ right)= \ sqrt {\ left [A_c + A_cK_am \ left(t \ right)+ n_I \ left(t \ right)\ right] ^ 2 + \ left(n_Q \ left(t \ right)\ right)^ 2} $$

$$ \ Rightarrow d \ left(t \ right)\ approx A_c + A_ck_am \ left(t \ right)+ n_1 \ left(t \ right)$$

解调信号的平均功率为

$$ P_m = \ left(\ frac {A_ck_am \ left(t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right)^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a} } ^ {2} P} {2} $$

输出的平均噪声功率为

$$ P_no = WN_0 $$

将这些值代入输出SNR公式中。

$$ \ left(SNR \ right)_ {O，AM} = \ frac {平均\：\：功率\：\：的\：\：解调后的\：\：信号} {平均\：\：功率\： \：of \：\：噪声\：\：at \：\：输出} $$

$$ \ Rightarrow \ left(SNR \ right)_ {O，AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2WN_0} $$

用AM接收机公式的品质因数代替。

$$ F = \ frac {\ left(SNR \ right)_ {O，AM}} {\ left(SNR \ right)_ {C，AM}} $$

$$ \ Rightarrow F = \ left(\ frac {{A_ {c} ^ {2}} {k_ {a} ^ {2}} P} {2WN_0} \ right)/ \ left(\ frac {{A_ { c}} ^ {2} \ left(1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right)P} {2WN_0} \ right)$$

$$ \ Rightarrow F = \ frac {{K_ {a}} ^ {2} P} {1+ {K_ {a}} ^ {2} P} $$

因此，AM接收机的品质因数小于1。

DSBSC系统中的SNR计算

考虑以下DSBSC系统的接收机模型来分析噪声。

我们知道DSBSC调制波是

$$ s \ left(t \ right)= A_cm \ left(t \ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

DSBSC调制波的平均功率为

$$ P_s = \ left(\ frac {A_cm \ left(t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right)^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2} $$

消息带宽中的平均噪声功率为

$$ P_ {nc} = WN_0 $$

将这些值代入信道SNR公式中。

$$ \ left(SNR \ right)_ {C，DSBSC} = \ frac {平均\：\：功率\：\：of \：\：DSBSC \：\：调制\：\：wave} {平均\： \：功率\：\：的\：\：噪声\：\：in \：\：消息\：\：带宽} $$

$$ \ Rightarrow \ left(SNR \ right)_ {C，DSBSC} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$

假设带通噪声在信道中与DSBSC调制波混合，如上图所示。该组合被用作乘积调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为

$$ v_1 \ left(t \ right)= s \ left(t \ right)+ n \ left(t \ right)$$

$$ \ Rightarrow v_1 \ left(t \ right)= A_cm \ left(t \ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ \ left [n_I \ left(t \ right)\ cos \ left( 2 \ pi f_ct \ right)-n_Q \ left(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ right] $$

$$ \ Rightarrow v_1 \ left(t \ right)= \ left [A_cm \ left(t \ right)+ n_I \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)-n_Q \ left(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

本地振荡器产生载波信号$ c \ left(t \ right)= \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$。该信号作为产品调制器的另一个输入施加。因此，乘积调制器产生输出，该输出是$ v_1 \ left(t \ right)$和$ c \ left(t \ right)$的乘积。

$$ v_2 \ left(t \ right)= v_1 \ left(t \ right)c \ left(t \ right)$$

替换上式中的$ v_1 \ left(t \ right)$和$ c \ left(t \ right)$值。

$$ \ Rightarrow v_2 \ left(t \ right)= \ left(\ left [A_cm \ left(t \ right)+ n_I \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right )-n_Q \ left(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

$$ \ Rightarrow v_2 \ left(t \ right)= \ left [A_c m \ left(t \ right)+ n_I \ left(t \ right)\ right] \ cos ^ 2 \ left(2 \ pi f_ct \ right )-n_Q \左(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

$$ \ Rightarrow v_2 \ left(t \ right)= \ left [A_c m \ left(t \ right)+ n_I \ left(t \ right)\ right] \ left(\ frac {1+ \ cos \ left( 4 \ pi f_ct \ right}} {2} \ right)-n_Q \ left(t \ right)\ frac {\ sin \ left(4 \ pi f_ct \ right)} {2} $$

当上述信号用作低通滤波器的输入时，我们将获得低通滤波器的输出，如下所示：

$$ d \ left(t \ right)= \ frac {\ left [A_c m \ left(t \ right)+ n_I \ left(t \ right)\ right]} {2} $$

解调信号的平均功率为

$$ P_m = \ left(\ frac {A_cm \ left(t \ right)} {2 \ sqrt {2}} \ right)^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8 } $$

输出的平均噪声功率为

$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$

将这些值代入输出SNR公式中。

$$ \ left(SNR \ right)_ {O，DSBSC} = \ frac {平均\：\：Power \：\：of \：\：解调后的\：\：signal} {Average \：\：Power \： \：of \：\：噪声\：\：at \：\：输出} $$

$$ \ Rightarrow \ left(SNR \ right)_ {O，DSBSC} = \ left(\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8} \ right)/ \ left(\ frac {WN_0 } {4} \ right)= \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$

用DSBSC接收器公式的品质因数中的值代替。

$$ F = \ frac {\ left(SNR \ right)_ {O，DSBSC}} {\ left(SNR \ right)_ {C，DSBSC}} $$

$$ \ Rightarrow F = \ left(\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} \ right)/ \ left(\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} { 2WN_0} \ right)$$

$$ \ Rightarrow F = 1 $$

因此，DSBSC接收机的品质因数为1。

SSBSC系统中的SNR计算

考虑以下SSBSC系统的接收机模型来分析噪声。

我们知道边带较低的SSBSC调制波为

$$ s \ left(t \ right)= \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left(f_c-f_m \ right)t \ right] $$

SSBSC调制波的平均功率为

$$ P_s = \ left(\ frac {A_mA_c} {2 \ sqrt {2}} \ right)^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8} $$

消息带宽中的平均噪声功率为

$$ P_ {nc} = WN_0 $$

将这些值代入信道SNR公式中。

$$ \ left(SNR \ right)_ {C，SSBSC} = \ frac {平均\：\：功率\：\：of \：\：SSBSC \：\：调制\：\：wave} {平均\： \：功率\：\：的\：\：噪声\：\：in \：\：消息\：\：带宽} $$

$$ \ Rightarrow \ left(SNR \ right)_ {C，SSBSC} = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$

假定带通噪声与信道中的SSBSC调制波混合，如上图所示。该组合被用作乘积调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为

$$ v_1 \ left(t \ right)= s \ left(t \ right)+ n \ left(t \ right)$$

$$ v_1 \ left(t \ right)= \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left(f_c-f_m \ right)t \ right] + n_I \ left(t \ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)-n_Q \ left(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

本地振荡器产生载波信号$ c \ left(t \ right)= \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$。该信号作为产品调制器的另一个输入施加。因此，乘积调制器产生输出，该输出是$ v_1 \ left(t \ right)$和$ c \ left(t \ right)$的乘积。

$$ v_2 \ left(t \ right)= v_1 \ left(t \ right)c \ left(t \ right)$$

用上述等式中的$ v_1 \ left(t \ right)$和$ c \ left(t \ right)$值代替。

$ \ Rightarrow v_2(t)=(\ frac {A_mA_c} {2} \ cos [2 \ pi(f_c-f_m)t] + n_I(t)\ cos(2 \ pi f_ct)-$

$ n_Q(t)\ sin(2 \ pi f_ct))\ cos(2 \ pi f_ct)$

$ \ Rightarrow v_2 \ left(t \ right)= \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left(f_c-f_m \ right)t \ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ $

$ n_I \ left(t \ right)\ cos ^ 2 \ left(2 \ pi f_ct \ right)-n_Q \ left(t \ right)\ sin \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$

$ \ Rightarrow v_2 \ left(t \ right)= \ frac {A_mA_c} {4} \ left \ {\ cos \ left [2 \ pi \ left(2f_c-f_m \ right)t \ right] + \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right)\ right \} + $

$ n_I \ left(t \ right)\ left(\ frac {1+ \ cos \ left(4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right)-n_Q \ left(t \ right)\ frac {\ sin \ left(4 \ pi f_ct \ right)} {2} $

当上述信号用作低通滤波器的输入时，我们将获得低通滤波器的输出，如下所示：

$$ d \ left(t \ right)= \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left(2 \ pi f_mt \ right)+ \ frac {n_I \ left(t \ right)} {2} $$

解调信号的平均功率为

$$ P_m = \ left(\ frac {A_mA_c} {4 \ sqrt {2}} \ right)^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} $$

输出的平均噪声功率为

$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$

将这些值代入输出SNR公式

$$ \ left(SNR \ right)_ {O，SSBSC} = \ frac {平均\：\：功率\：\：的\：\：解调后的\：\：信号} {平均\：\：功率\： \：of \：\：噪声\：\：at \：\：输出} $$

$$ \ Rightarrow \ left(SNR \ right)_ {O，SSBSC} = \ left(\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} \ right )/ \ left(\ frac {WN_0} {4} \ right)= \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$

替代SSBSC接收机公式的品质因数中的值

$$ F = \ frac {\ left(SNR \ right)_ {O，SSBSC}} {\ left(SNR \ right)_ {C，SSBSC}} $$

$$ F = \ left(\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right)/ \ left(\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right)$$

$$ F = 1 $$

因此，SSBSC接收机的品质因数为1。