Lary树的LCA | 常数查询O(1)

什么是Lary树？

Lary树是一种基于倍增的树形结构，它是一颗有 $n$ 个节点的有根树，节点编号为 $1$ 到 $n$。 它可以用 $nlogn$ 的时间预处理后支持 $O(1)$ 的最近公共祖先 (LCA) 查询。它与经典的tarjan离线算法相比，在常数上有显著的优势，实现较为简单。

Lary树的构建

假设有一颗树 $T$，我们要建立它的Lary树 $L_T$。Lary树是一颗新树 $L_T$，每个节点对应原树 $T$ 中的一条边。如果节点 $u$ 对应的边是 $(x,y)$，那么 $u$ 的父亲为将 $(x,y)$ 删去之后 $x$ 的LCA对应的节点。其中，我们约定 $LCA(x,x)=x$。

构建Lary树的过程可以用倍增的方式实现，具体可以参考LCA算法中的倍增实现。下面是Lary树的一颗样例：

Lary树的查询

LCA算法可以在 $\logn$ 的时间内找到两个节点的最近公共祖先。而Lary树可以支持 $O(1)$ 的查询，这是如何实现的呢？

我们设 $d(u)$ 表示节点 $u$ 的深度，$p_0(u)$ 表示节点 $u$ 的父亲，$f(u)$ 表示节点 $u$ 在Lary树中的父亲。那么，在Lary树中，节点 $u$ 和它的父亲 $f(u)$ 的深度必须满足以下三种情况之一：

• $d(f(u))=d(u)-1$
• $d(f(u))=d(u)-2$
• $d(f(u))=d(u)-4$

这是为什么呢？根据Lary树的构造方式，节点 $u$ 在Lary树中对应的边 $(x,y)$ 的LCA是 $LCA(x,y)$。记 $d_x=depth[x]$，$d_y=depth[y]$。那么有以下情况：

• 如果 $d_x \geq d_y+2$，那么 $LCA(x,y)=LCA(T[x],y)$
• 如果 $d_y \geq d_x+2$，那么 $LCA(x,y)=LCA(x,T[y])$
• 如果 $max(d_x,d_y)-min(d_x,d_y) \leq 1$，那么 $LCA(x,y)$ 就是$x$ 和 $y$ 的公共祖先。

由于Lary树上每个节点的深度相差至多为 $4$，所以情况 $3$ 对应的深度差是至多 $2$ 的，因此，满足情况 $3$ 的节点 $u$ 在Lary树中的父亲 $f(u)$ 必须满足 $d(f(u))=d(u)-1$。对于情况 $1$ 和情况 $2$，$f(u)$ 必须满足 $d(f(u))=d(u)-2$ 或者 $d(f(u))=d(u)-4$。

这样，在Lary树上查询两个节点的LCA，我们只需要将它们一直想上找，直到它们的深度相同，并且它们的LCA对应的边满足上面这三种情况即可。这个查询操作的时间复杂度是 $O(1)$ 的。

代码实现

下面是Lary树的求LCA操作的C++代码：

int LCA(int u, int v) {
    while (1) {
        if (depth[u] < depth[v])
            std::swap(u, v);
        if (depth[f[u]] < depth[v])
            break;
        u = f[u];
    }
    while (depth[u] != depth[v])
        u = f[u];
    while (u != v) {
        u = f[u];
        v = f[v];
    }
    return u;
}

总结

Lary树是一种简单高效的数据结构，它可以用 $O(nlogn)$ 的时间构造，支持 $O(1)$ 的求最近公共祖先等操作。它比离线算法在常数上有所优越，因此，在实际使用中，可以根据具体情况选用不同的算法。