图形着色的 DSatur 算法

算法简介

DSatur (Degree saturation) 算法是一种常用于求解图的最小着色问题的贪心算法。其基本思想是在每一轮中选取当前拥有最高饱和度（即与其相邻的节点已使用颜色数量最多）的节点着色，并更新其相邻未着色节点的饱和度。该算法是一种经典贪心算法，时间复杂度为 $O(n^2)$，但在实际应用中表现良好。

算法实现

数据结构

在实现 DSatur 算法时，我们需要定义节点的数据结构。一个节点需要记录以下信息：

• 节点编号 id
• 相邻节点的编号 adjacency_list
• 当前着色 /color
• 当前饱和度 saturation
• 标记该节点是否已着色 colored

下面是使用 Python 语言定义节点类的代码：

class Node:
    def __init__(self, id):
        self.id = id
        self.adjacency_list = []
        self.color = None
        self.saturation = 0
        self.colored = False

算法实现

在具体实现算法之前，需要确定一些辅助函数。这些函数包括：

• get_max_saturation_node(): 获取当前拥有最高饱和度的未着色节点
• color_node(node, color): 将节点着色为指定颜色，并更新相邻节点的饱和度
• get_next_color(): 获取下一种可用颜色（即未被相邻节点使用过的最小颜色）
• check_color(node, color): 检查指定颜色是否可以用于给定节点

下面是使用 Python 语言实现 DSatur 算法的代码：

def dsatur_algorithm(nodes):
    # 初始化饱和度
    for node in nodes:
        node.saturation = len(node.adjacency_list)

    # 标记未着色节点
    uncolored_nodes = [node for node in nodes if not node.colored]

    # 着色
    while len(uncolored_nodes) > 0:
        node = get_max_saturation_node(uncolored_nodes)
        color = get_next_color(node)
        color_node(node, color)
        uncolored_nodes = [node for node in nodes if not node.colored]

    # 输出结果
    for node in nodes:
        print(f"Node {node.id}: {node.color}")

以上代码中，nodes 参数为一个节点列表，表示需要进行着色的图。在算法执行完成后，将输出每个节点的最终颜色。

算法优化

DSatur 算法本身已经是一种比较高效的算法，但在实际应用中仍有可能存在性能瓶颈。一些可能的优化措施包括：

• 使用堆或优先队列（如 Python 中的 heapq 模块）替代线性搜索获取最高饱和度节点，以达到 $O(\log n)$ 的时间复杂度
• 将节点按饱和度排序，以减少搜索次数和调用相关函数的次数
• 根据图的特点，选择合适的启发式算法，例如 Dsatur+、Tsai 等

参考资料

• DSatur algorithm - Wikiwand
• Chromatic number with DSatur algorithm / Graph Algorithms / Information and Algorithms / Porto Conte Ricerche - PaaSage H2020 European Project