弦图的着色

在数学图论中，弦图是具有 4 个或更多顶点的闭环，因此可以将一条边从一个顶点绘制到另一个顶点。换句话说，弦图是长度为 4 或更长的图，包含至少一个弦。和弦不过是连接图的两个顶点的边，并绘制在图的内部。

要记住的要点：

• 弦图是完整图的子集。
• 不包含弦的图称为孔或无弦循环。
• 一个完整的图是一个弦图本身。

1)考虑下图 ABCD c。一条边 CB 从顶点 C 绘制到顶点 B，在该图中充当和弦。因此，下图被称为弦图。

弦图

2）考虑下面的完整图表示例。由 n*(n-1)/2 条边组成的图称为完全图，其中 n 是顶点数。在完整图中，连接所有顶点的边已经存在并且也充当和弦。因此，完整图是弦图的超集。

完整的图表

最小着色算法：

在本文中，我们将讨论使用贪心着色算法对弦图着色。

贪心着色算法：

1. 首先，我们需要找到给定弦图的完美消除排序（PEO）。
2. 然后，以我们已经找到的那个 PEO 的相反顺序遍历顶点。
3. 为每个顶点赋予最小的颜色，使得当前顶点颜色不会在其相邻顶点中使用。
4. 如果当前顶点的颜色已经给它的邻居，则增加颜色并将其分配给当前顶点。
5. 重复步骤 3 和 4，直到所有顶点都着色。

示例：考虑下面的弦图 ABCD。令该图的完美消除顺序为 [D, C, B, A]。我们将反向遍历图 PEO。因此，[A, B, C, D] 与 PEO 相反。

1.首先，我们将顶点 A 着色为 1，因为我们需要用最小的当前颜色着色。

2.现在对于顶点 B，我们将检查它的邻居是否包含颜色 1。由于顶点“A”包含颜色 1，因此我们将颜色增加 1 以着色顶点 B。

3.同样，对于顶点 C，它的邻居 A 包含颜色 1，而 B 包含颜色 2，因此我们将顶点 C 着色为 3。

4.现在，对于顶点 D，由于它的邻居不包含颜色 1，所以我们将为顶点 D 着色 1。