二维阵列中具有最大乘积的路径

简介

二维阵列中具有最大乘积的路径问题是一个经典的动态规划问题。给定一个 $n \times m$ 的矩阵，每个格子里填入一个非零整数，找到从左上角到右下角的一条路径，使路径上所有数的乘积最大。

解法

该问题可以通过将路径上的点分为正数和负数来解决。假设 $P_{max}(i,j)$ 表示从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的最大乘积，$P_{min}(i,j)$ 表示从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的最小乘积。则根据数学运算法则，有以下递推式：

$$P_{max}(i,j) = \max{P_{max}(i-1,j) \times A_{i,j}, P_{max}(i,j-1) \times A_{i,j}, P_{min}(i-1,j) \times A_{i,j}, P_{min}(i,j-1) \times A_{i,j}}$$

$$P_{min}(i,j) = \min{P_{max}(i-1,j) \times A_{i,j}, P_{max}(i,j-1) \times A_{i,j}, P_{min}(i-1,j) \times A_{i,j}, P_{min}(i,j-1) \times A_{i,j}}$$

其中，$A_{i,j}$ 表示第 $i$ 行 $j$ 列的数。

最后，路径上的最大乘积即为 $P_{max}(n,m)$。

代码

def max_product_path(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    P_max = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    P_min = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if i == 1 and j == 1:
                P_max[i][j] = P_min[i][j] = matrix[i-1][j-1]
            else:
                P_max[i][j] = max(P_max[i-1][j]*matrix[i-1][j-1], 
                                  P_max[i][j-1]*matrix[i-1][j-1], 
                                  P_min[i-1][j]*matrix[i-1][j-1], 
                                  P_min[i][j-1]*matrix[i-1][j-1])
                P_min[i][j] = min(P_max[i-1][j]*matrix[i-1][j-1], 
                                  P_max[i][j-1]*matrix[i-1][j-1], 
                                  P_min[i-1][j]*matrix[i-1][j-1], 
                                  P_min[i][j-1]*matrix[i-1][j-1])
            
    return P_max[n][m]

示例

matrix = [[-1, 2, 3],
          [4, 5, -6],
          [7, 8, 9]]
assert max_product_path(matrix) == 1080

总结

二维阵列中具有最大乘积的路径问题是一个典型的动态规划问题。通过定义两个状态来存储从左上角到达当前位置的最大和最小乘积，可以高效地解决该问题。