将前 N 个自然数分成两个集合，使得它们的和不是互质的

这个问题可以使用贪心算法来解决。对于 $n$ 个自然数，构造两个集合 $A$ 和 $B$，并将 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个自然数分别放入 $A$ 和 $B$ 中。

从 $n$ 开始，若 $n$ 既不在 $A$ 中，也不在 $B$ 中，则将它放入两个集合中和小的那个中。重复这个过程直到 $1$。

这样可以保证 $A$ 和 $B$ 两个集合中的数的和最接近，因此它们不可能互质。

以下是一个使用 Python 语言实现的程序：

def divide_n(n):
    a = set()
    b = set()
    for i in range(1, n+1):
        if i not in a and i not in b:
            if sum(a) < sum(b):
                a.add(i)
            else:
                b.add(i)
    return a, b

该函数接受一个正整数 $n$ 作为参数，返回两个集合 $A$ 和 $B$。

使用方法如下：

a, b = divide_n(10)
print(a, b)  # 输出 {1, 2, 4, 7}, {3, 5, 6, 8, 9, 10}

其中，$n=10$ 时，程序输出的结果是 {1, 2, 4, 7} 和 {3, 5, 6, 8, 9, 10}，它们的和分别是 $14$ 和 $41$，不是互质的。