将一个集合分成两个非空子集，使得子集和的差异最大

介绍

问题描述：

给定一个包含 $n$ 个整数的集合 $S$，将其分成两个非空子集 $S_1$ 和 $S_2$，使得 $|sum(S_1)-sum(S_2)|$ 最大化。

例如，$S = {1, 2, 3, 4, 5}$，则 $S_1 = {1, 4, 5}$，$S_2 = {2, 3}$，$|sum(S_1)-sum(S_2)| = |10-5| = 5$。

这个问题属于 NP 完全问题，因此对于大的数据集来说只能使用近似算法。

算法

动态规划

考虑将原问题转化为一个背包问题。假设总和为 $sum$，则目标是将背包容量为 $sum/2$ 的背包装满。设 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个元素中选择若干个能否组成体积为 $j$ 的背包。则：

• $dp[i][j] = true$ 表示能够组成体积为 $j$ 的背包；
• $dp[i][j] = false$ 表示不能组成体积为 $j$ 的背包。

状态转移方程为：

• $dp[i][j] = dp[i-1][j] \ or\ dp[i-1][j-nums[i]]$。

其中，$nums[i]$ 表示第 $i$ 个元素的值。

最终需要找到最大的 $j$，使得 $dp[n][j]$ 为真。则 $sum-2*j$ 就是 $S_1$ 和 $S_2$ 的差值。

时间复杂度为 $O(nsum/2)$，空间复杂度为 $O(nsum/2)$。

搜索

另一种解法是搜索。我们考虑一个深度优先搜索，从第一个元素开始，当前元素可以加入 $S_1$ 或 $S_2$，然后进入下一层递归，搜索完元素后统计 $S_1$ 和 $S_2$ 的差值，记录最大值。需要注意：

• 当 $S_1$ 或 $S_2$ 中的元素的和超过了 $sum/2$ 时，剪枝，结束递归；
• 如果当前差值已经大于等于之前搜索出的差值，则剪枝，结束递归。

时间复杂度很难确定，但是由于使用了剪枝，因此平均时间复杂度还是很高的。

示例代码

动态规划

def maxSubsetDifference(nums):
    n = len(nums)
    sum = 0
    for num in nums:
        sum += num
    if sum % 2 != 0:
        return False
    target = sum // 2
    dp = [[False] * (target+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = True
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, target+1):
            if j < nums[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i-1]]
    ans = 0
    for j in range(target, -1, -1):
        if dp[n][j]:
            ans = j
            break
    return sum - 2 * ans

搜索

def dfs(nums, idx, sum1, sum2, max_diff):
    if idx == len(nums):
        if sum1 != sum2:
            diff = abs(sum1 - sum2)
            if diff > max_diff:
                max_diff = diff
        return max_diff
    max_diff = dfs(nums, idx+1, sum1+nums[idx], sum2, max_diff)
    max_diff = dfs(nums, idx+1, sum1, sum2+nums[idx], max_diff)
    return max_diff
    
def maxSubsetDifference(nums):
    return dfs(nums, 0, 0, 0, 0)

总结

本文介绍了如何将一个集合分成两个非空子集，使得子集和的差异最大。我们介绍了两种解法，动态规划和搜索。其中，动态规划时间复杂度为 $O(nsum/2)$，空间复杂度为 $O(nsum/2)$；搜索时间复杂度很难确定，但是由于使用了剪枝，因此平均时间复杂度还是很高的。