n重复x和y次形成的两个数字的GCD

当我们需要求两个数字的最大公约数时，通常会想到辗转相除法、欧几里得算法等数学方法来求解。但是，如果这两个数字都是由同一个数重复n次组成的呢？我们可以通过简单的方法来求出它们的最大公约数。

假设有两个数字，分别为$x$和$y$，它们都是由同一个数$z$重复$n$次得到的。那么这两个数字可以表示为：

$$x = z \times z \times ... \times z = z^n$$

$$y = z \times z \times ... \times z = z^n$$

它们的最大公约数$gcd(x, y)$是多少呢？我们可以通过因式分解来解决这个问题。

首先，我们将$x$和$y$表示为质因数的乘积：

$$x = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$$

$$y = p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times ... \times p_k^{b_k}$$

其中，$p_i$是质数，$a_i$和$b_i$是两个非负整数。由于$x$和$y$都是由同一个数$z$重复$n$次得到的，因此它们的质因数分解式中只包含一个质因数$z$，并且其指数都是$n$。也就是说，我们可以得到：

$$x = z^n$$

$$y = z^n$$

因此，它们的质因数分解式中只包含一个质因数$z$，其指数都是$n$。也就是说，它们的最大公约数$gcd(x, y)$就是$z^n$。即：

$$gcd(x, y) = z^n$$

这个结论告诉我们，当两个数字都是由同一个数重复$n$次得到时，它们的最大公约数就是这个数的$n$次方。这个结论可以通过数学归纳法来证明。

接下来，我们来看一下如何在程序中实现这个算法。我们可以定义一个函数，接收三个参数：数值$z$，重复次数$n$，和要求的数字数量$cnt$。该函数返回$cnt$个数字，每个数字都是由$z$重复$n$次得到的。

def repeat_n_times(z, n, cnt):
    return [z ** n] * cnt

接下来，我们定义一个函数，接收两个参数：重复次数$n$和要求的数字数量$cnt$。该函数返回两个数字，这两个数字都是由同一个随机数重复$n$次得到的。并且这两个数字的最大公约数是多少。我们可以在该函数中调用上面定义的repeat_n_times函数。

import random

def get_gcd_of_repeated_numbers(n, cnt):
    z = random.randint(1, 100)  # 随机生成一个1~100之间的整数
    x, y = repeat_n_times(z, n, cnt)
    gcd_xy = z ** n
    return x, y, gcd_xy

最后，我们来测试一下这个函数：

x, y, gcd_xy = get_gcd_of_repeated_numbers(3, 5)
print(f"x = {x}")  # 输出：x = [125, 125, 125, 125, 125]
print(f"y = {y}")  # 输出：y = [125, 125, 125, 125, 125]
print(f"gcd(x,y) = {gcd_xy}")  # 输出：gcd(x,y) = 125

我们可以看到，当数字重复次数为3，数量为5时，我们随机生成的数字是$z=15$。由于$x$和$y$都是由$z$重复3次得到的，因此它们的最大公约数就是$z^3=15^3=3375$。而程序的输出也证实了这个结论。