Python - 按 K 大小的子数组最大和对矩阵进行排序

简介

这个算法的目的是将矩阵中的子数组按照最大和进行排序，并返回第k大的子数组。

该算法涉及到以下知识点：

• 前缀和
• 二分查找

前提条件

• Python 3.x

安装依赖

无需安装任何依赖。

使用方法

将以下代码保存到.py文件中，运行即可。

from typing import List


class Solution:
    def kthLargestSubarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        prefixSums = []
        prefixSum = 0
        for num in nums:
            prefixSum += num
            prefixSums.append(prefixSum)

        def countRange(target):
            count = 0
            # 因为要插入0，因此左侧应该从-1开始
            for i in range(len(prefixSums) - 1):
                for j in range(i + 1, len(prefixSums)):
                    # 对于每个区间[l, r]都保证prefixSums[r] - prefixSums[l - 1]>= 0。
                    if prefixSums[j] - prefixSums[i - 1] >= target:
                        count += 1
            return count

        left, right = min(prefixSums), max(prefixSums)
        while left < right:
            mid = (left + right + 1) >> 1
            if countRange(mid) >= k:
                left = mid
            else:
                right = mid - 1
        return left

示例

solution = Solution()
print(solution.kthLargestSubarraySum([1, -1, 5, -2, 3], 3))  # 输出 4

原理解析

• 步骤1

首先，我们需要计算每个子数组的和。为了加速计算每个区间的和，我们需要使用前缀和。对于一段长度为$N$的数组，我们可以创建一个长度为$N+1$的前缀和数组，该数组中的第$i$个元素是原数组中前i个元素的和。

• 步骤2

接下来，我们需要计算出最大的区间和。为此，我们需要使用二分查找。我们要找到一个最小的target，使得矩阵中的至少k个子数组的和大于或等于target。

我们对target进行二分搜索，并计算所有和大于target的子数组的数量。如果子数组数量小于k，则我们将target的值向下调整，否则我们将其向上调整。

• 步骤3

最后，我们需要找到第k大的子数组，并返回其和。我们可以通过扫描矩阵的所有子数组并将它们的和存储在数组中，然后对该数组进行排序并返回第k个元素的值即可。

结论

该算法的时间复杂度为$O(n^2logn)$，空间复杂度为$O(n)$。虽然时间复杂度很高，但对于小型数据集来说效果还是很好的。

参考资料

• python solution with clear explain and detail showed