📜  门| GATE-CS-2004 |问题 33(1)

📅  最后修改于: 2023-12-03 15:42:15.832000             🧑  作者: Mango

门 | GATE-CS-2004 |问题 33

这是GATE-CS-2004中的第33个问题,它是一个概率相关的问题。以下是问题:

一扇门有两个面——一个红色的外面和一个白色的内面。它们各自有一个控制门的开放和关闭的按钮。这些按钮是这样设置的:每个按钮都可以控制开关门,并且每次按下时,它们都会切换门的状态(开/关)。即,如果门是关闭的,那么它将打开,反之亦然。你不知道哪个按钮控制哪个面。现在,门被关闭了。样本空间中有4个等概率点:{RC, RW, BC, BW}。其中RC代表“红色的外面,门是关闭的”,RW代表“白色的内面,门是关闭的”,BC代表“红色的外面,门是打开的”,BW代表“白色的内面,门是打开的”。现在,根据以下规则选择一个点:

考虑两个随机按钮A和B。

  1. 如果A被按下,则门始终将打开。
  2. 如果A和B都按下,则门将关闭。
  3. 如果A没有按下,则门只有在B按下时才会打开。

问题:选中点是RW条件下,门被打开的概率是多少?

解题思路

题目描述中的样本空间中有4个等概率点:{RC, RW, BC, BW},其中RW代表“白色的内面,门是关闭的”。我们需要计算的是条件概率 $P(BW|RW)$,即选中白色的内面时,门被打开的概率。

我们可以为每个按钮定义一个指标 $a$ 和 $b$,表示按钮是否按下。0表示没有按下,1表示按下。对于每种样本空间中的情况,我们可以得出以下表格:

| 情况 | $a$ | $b$ | 门状态 | | ---- | --- | --- | ------ | | RC | 0 | 0 | 关闭 | | RW | 0 | 0 | 关闭 | | BC | 1 | 0 | 打开 | | BW | 0or1| 1 | 打开 |

我们可以通过列出所有可能的情况,并计算条件概率来回答问题。像这样:

$$ \begin{aligned} P(BW|RW) &= \frac{P(RW\cap BW)}{P(RW)} \ &= \frac{P(BW|a=0)\cdot P(a=0|RW) \cdot P(RW|b=1)\cdot P(b=1)}{P(a=0|RW) \cdot P(b=1) + P(a=1 \cap b=1|RW) + P(b=1|a=0) \cdot P(RW|b=1) \cdot P(a=0)} \ &= \frac{1/2 \cdot 1/3 \cdot 1/2 \cdot 1/2}{1/3 \cdot 1/2 + 0 + 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/3} \ &= \frac{1}{5} \end{aligned} $$

代码实现
P_BW_given_RW = 1/2 * 1/3 * 1/2 * 1/2 / (1/3 * 1/2 + 1/2 * 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/2 * 1/3)
print('选中点是RW条件下,门被打开的概率为:%.2f%%' % (P_BW_given_RW * 100))
结果

选中点是RW条件下,门被打开的概率为:20.00%