门 | GATE-CS-2004 | 问题9

这道题目考察图论知识，给定一个有向图和两个点 $s$ 和 $t$，求出在经过至少一次的非重复遍历的情况下从 $s$ 到 $t$ 的最短路径。

解题思路

首先，我们可以使用 BFS 查找从 $s$ 到 $t$ 的最短路径。但是，由于题目中要求经过至少一次的非重复遍历，我们需要对图进行修改。

具体地，我们需要首先将原图中的边 $(u,v)$ 删除，然后为每一条边 $(u,v)$ 添加一条长度为 2 的边 $(u,x)$ 和 $(x,v)$，其中 $x$ 是 $u$ 和 $v$ 之间的一个新节点。这样做的目的是为了让 BFS 算法只在经过至少一次的非重复遍历下查找最短路径。

在此基础上，我们可以使用 BFS 查找从 $s$ 到 $t$ 的最短路径。具体来说，我们可以从 $s$ 开始，使用 BFS 算法遍历整个图，直到找到 $t$ 为止。在遍历过程中，我们需要记录已经经过的点和经历次数，以便在遍历的过程中判断是否重复遍历了某一个点，或者出现了下一级结点到达当前结点的情况。

最终，我们可以得到从 $s$ 到 $t$ 的最短路径长度。

代码实现

下面是 Python 语言的代码实现，其中 graph 表示原始的有向图，s 和 t 表示起点和终点的编号：

def shortest_path(graph, s, t):
    # 删除原图中的边，添加新的边
    for u, v in graph.edges:
        graph.remove_edge(u, v)
        x = graph.add_node()  # 创建新节点
        graph.add_edge(u, x)
        graph.add_edge(x, v)
    
    # 从 s 开始遍历整个图，记录已经经过的点和经历次数
    q = [(s, 0)]
    visited = {(s, 0)}
    
    while q:
        u, d = q.pop(0)
        if u == t:
            return d // 2  # 最短路径长度
        for v in graph.neighbors(u):
            x = (v, d + 1)
            if x not in visited:
                visited.add(x)
                q.append(x)
                
    return -1  # 无法从 s 到达 t

注意，由于我们添加了新的节点，因此在 BFS 算法中，每一步的遍历距离应该除以 2 才是最终的路径长度。如果从 $s$ 无法到达 $t$，则返回 -1。