在上一章中，我们讨论了如何将电路转换为等效图。现在，让我们讨论网络拓扑矩阵，这些矩阵可通过使用它们的等效图来解决任何电路或网络问题。

与网络图相关的矩阵

以下是图论中使用的三个矩阵。

• 发病率矩阵
• 基本回路矩阵
• 基本切割集矩阵

发病率矩阵

事故矩阵表示给定电路或网络的图形。因此，有可能从入射矩阵绘制相同电路或网络的图形。

我们知道图由一组节点组成，这些节点由一些分支连接。因此，分支与节点的连接称为关联。关联矩阵用字母A表示。也称为节点到分支关联矩阵或节点关联矩阵。

如果在有向图中存在“ n”个节点并且“ b”个分支，则关联矩阵将具有“ n”行和“ b”列。在此，行和列对应于有向图的节点和分支。因此，入射矩阵的阶数将为n×b 。

入射矩阵的元素将具有以下三个值之一：+ 1，-1和0。

• 如果支路电流从选定节点流出，则该元素的值将为+1。

• 如果支路电流正流向所选节点，则该元素的值为-1。

• 如果分支电流既不进入选定节点也不离开选定节点，则element的值将为0。

查找发病率矩阵的过程

请按照以下步骤查找有向图的发生率矩阵。

• 一次选择给定有向图的一个节点，并在一行中填充与该节点相对应的入射矩阵元素的值。

• 对给定有向图的所有节点重复上述步骤。

例

考虑以下有向图。

与上述有向图相对应的入射矩阵为

$$ A = \ begin {bmatrix} -1＆1＆0＆-1＆0＆0 \\ 0＆-1＆1＆0＆1＆0 \\ 1＆0＆-1＆0＆0＆1 \\ 0＆0＆0＆1＆-1＆-1 \ end {bmatrix} $$

上面矩阵的行和列表示给定有向图的节点和分支。此关联矩阵的顺序为4×6。

通过观察上述关联矩阵，我们可以得出结论，关联矩阵的列元素的总和等于零。这意味着，支路电流从一个节点离开，仅进入另一个节点。

注-如果给定图是无向图，则通过代表每个分支上的箭头将其转换为有向图。我们可以考虑每个分支中电流的任意方向。

基本回路矩阵

基本循环或f循环是仅包含一个链接和一个或多个细枝的循环。因此，f循环的数量将等于链接的数量。基本回路矩阵用字母B表示。它也称为基本电路矩阵和Tie-set矩阵。该矩阵给出了支路电流和链路电流之间的关系。

如果在有向图中存在“ n”个节点并且“ b”个分支，则与给定图的所选树相对应的同树中存在的链接数将为b-n + 1。

因此，基本循环矩阵将具有“ b-n + 1”行和“ b”列。在此，行和列对应于给定图的共树和分支的链接。因此，基本回路矩阵的阶数为(b-n + 1)×b 。

基本回路矩阵的元素将具有以下三个值之一：+ 1，-1和0。

• 对于所选f回路的链接，element的值将为+1。

• 对于剩余的链接和细枝，元素的值将为0，这不属于所选f环。

• 如果所选f回路的分支电流方向与f回路链接电流的方向相同，则element的值将为+1。

• 如果所选f回路的分支电流的方向与f回路链接电流的方向相反，则element的值将为-1。

查找基本回路矩阵的过程

请按照以下步骤查找给定有向图的基本回路矩阵。

• 选择给定有向图的树。

• 通过一次包含一个链接，我们将获得一个f循环。在一行基本回路矩阵中填充与该f回路相对应的元素的值。

• 对所有链接重复上述步骤。

例

看一下下面的有向图树，将其作为关联矩阵考虑。

上面的树包含三个分支d，e和f。因此，分支a，b和c将是与上述树对应的Co-Tree的链接。通过一次包含一个到上述Tree的链接，我们将获得一个f循环。因此，将存在三个f循环，因为存在三个链接。下图显示了这三个f环。

在上图中，用彩色线条表示的分支形成f环。我们将从每个f循环中获得Tie-set矩阵的按行元素值。因此，上述树的Tieset矩阵将是

$$ B = \ begin {bmatrix} 1＆0＆0＆-1＆0＆-1 \\ 0＆1＆0＆1＆1＆0 \\ 0＆0＆1＆0＆-1＆1 \结束{bmatrix} $$

上面矩阵的行和列表示给定有向图的链接和分支。此关联矩阵的顺序为3×6。

有向图的基本循环矩阵的数量将等于该有向图的树的数量。因为，每棵树将具有一个基本循环矩阵。

基本割集矩阵

基本割集或f割集是从图上移除的最小分支数，其方式是原始图将成为两个孤立的子图。 F形剪裁集仅包含一根树枝和一个或多个链接。因此，f-cut集的数量将等于细枝的数量。

基本割集矩阵用字母C表示。该矩阵给出了分支电压和树枝电压之间的关系。

如果在有向图中存在“ n”个节点并且“ b”个分支，则在给定图的选定树中存在的细枝数将为n-1。因此，基本割集矩阵将具有“ n-1”行和“ b”列。在此，行和列对应于给定图的所选树和分支的细枝。因此，基本割集矩阵的阶数为(n-1)×b 。

基本割集矩阵的元素将具有以下三个值之一：+ 1，-1和0。

• 所选f-cutset的嫩枝的element值将为+1。

• 对于其余的小树枝和链接，元素的值将为0，这些元素不属于所选f-cutset。

• 如果所选f-cutset的链接电流方向与f-cutset树枝电流的方向相同，则element的值将为+1。

• 如果所选的f-cutset的链接电流的方向与f-cutset树枝电流的方向相反，则元素的值将为-1。

查找基本割集矩阵的过程

请按照以下步骤查找给定有向图的基本割集矩阵。

• 选择给定有向图的树，并用虚线表示链接。

• 通过一次移除一根树枝和必要的链接，我们将获得一组F形切割。在基本切割集矩阵的一行中填充与该F切割集对应的元素的值。

• 对所有树枝重复上述步骤。

例

考虑相同的有向图，我们在关联矩阵部分讨论了该图。选择此有向图的分支d，e和f作为树枝。因此，该有向图的其余分支a，b和c将成为链接。

在下图中，小枝d，e和f用实线表示，而链接a，b和c用虚线表示。

通过一次移除一根树枝和必要的链接，我们将获得一组F形切割。因此，将有3个f形剪裁集，因为有3条小树枝。下图显示了这三个f-cut集。

通过删除一组树枝和C ₁ ，C ₂和C _3的链接，我们将获得3个f形切口。我们将从每个f割集合中获取基本割集合矩阵的逐行元素值。因此，上述树的基本割集矩阵为

$$ C = \开始{bmatrix} 1＆-1＆0＆1＆0＆0 \\ 0＆-1＆1＆0＆1＆0 \\ 1＆0＆-1＆0＆0＆1 \结束{bmatrix} $$

上面矩阵的行和列表示给定有向图的树枝和分支。该基本割集矩阵的阶数为3×6。

有向图的基本割集矩阵的数量将等于该有向图的树的数量。因为，每棵树将具有一个基本切割集矩阵。