通过重复减少 3 或除以 5 来最小化将 N 减少到 2 的操作

在编程领域中，我们常常需要针对某个问题进行优化，以实现更加高效的代码。在本文中，我们将分享一种通过重复减少 3 或除以 5 来最小化将 N 减少到 2 的操作的方法。

问题背景

考虑一个问题：给定一个正整数 N，需要通过一系列操作将 N 减少到 2，同时最小化操作数。每个操作可以是将 N 减去 3，或将 N 除以 5（向下取整）。

比如，当 N=25 时，我们可以通过以下操作将 N 减少到 2：

25 - 3 = 22
22 - 3 = 19
19 / 5 = 3
3 - 3 = 0

因此，共进行了 4 次操作。

解决方案

为了最小化操作数，我们可以使用动态规划的思想，设计一个状态转移方程：

$dp[i]=\min(dp[i-3]+1, dp[\lfloor i/5 \rfloor]+1)$

其中，$dp[i]$ 表示将数字 i 减少到 2 的最小操作数。

该状态转移方程表示，对于数字 i，可以通过将其减 3 或除以 5 来减少数字，并选择较小的操作数。

代码实现

下面是基于上述状态转移方程的 Python 代码实现：

def reduce_to_2(n):
    dp = [float("inf")] * (n+1)
    dp[2] = 0
    for i in range(3, n+1):
        dp[i] = min(dp[i-3]+1, dp[i//5]+1)
    return dp[n]

其中，首先对 $dp$ 数组进行初始化，将所有元素的值设置为无穷大。然后，将 $dp[2]$ 的值设置为 0，并从 3 开始循环遍历，根据前述的状态转移方程计算出每个数字 i 对应的最小操作数，并返回 $dp[n]$ 的值。

测试样例

下面是一组测试样例：

assert reduce_to_2(25) == 4
assert reduce_to_2(56) == 5

总结

通过重复减少 3 或除以 5 来最小化将 N 减少到 2 的操作，是一种基于动态规划的优化方法。通过定义状态转移方程，可以实现高效的代码实现，从而在解决这类问题时提高算法的效率。