最小化移动将 N 减少到 0

给定一个正整数 N，你可以执行以下操作：

• 如果 N 是偶数，则将其替换为 N/2。
• 如果 N 是奇数，则可以将其替换为 N + 1 或 N - 1。

你需要使用以上操作尽可能地减少 N，直到它变为 0。编写一个函数来最小化执行操作的次数，并返回其次数。

思路

对于 N 的奇偶性，我们可以分别考虑。

当 N 是偶数时，直接将其除以 2，操作次数加 1 即可。

当 N 是奇数时，我们可以观察比 N 大 1 和比 N 小 1 的两个数，它们的二进制最多只有一位不同。如果将这一位从 0 或 1 切换即可转换成 N。那么我们应该选择哪一个数呢？直觉上，我们应该选择与 N 的二进制表示差异比较少的那个数，因为这样可以减少操作数。

为了找到与 N 差异最少的那个数，我们可以先将 N 的二进制表示取反，然后按位与上 N 的二进制表示，这样能够得到二进制表示中最右边的 1 及其之后的位变成 0，而其他位全变成 0。将它与 N 做异或运算，结果就是比 N 的二进制表示差异最少的那个数。

代码实现

Python 代码：

def minOperations(n: int) -> int:
    cnt = 0
    while n:
        if n % 2 == 0:
            n //= 2
        else:
            n ^= 1 if n == 1 else (n & -n)
        cnt += 1
    return cnt - 1

时间复杂度：$O(\log N)$

空间复杂度：$O(1)$

总结

将 N 转换成 0 需要的最小操作数，本题的思路较为巧妙，需要一定的数学基础才能理解。不过实现起来并不困难，而且时间复杂度非常优秀。