DP 多级

DP（动态规划）是一种常见的算法思想，用于解决各种计算问题，在进行一些递推或者优化问题的时候特别有用。在解决问题中，有些情况是需要进行多级 DP（动态规划）的，用于解决更为复杂的问题。

什么是 DP 多级

DP 多级是指在已有 DP 的基础上，再次进行一些子问题的递推，以获得更为全面的结果。多级 DP 的种类比较多，其中比较常见的种类为分组 DP、区间 DP、树形 DP、状态压缩 DP 等等。

分组 DP

分组 DP 又称划分型 DP，是指在已有的 DP 的基础上，进行新的子问题划分和求解。在分组 DP 中，通常将问题的数据集合划分成若干个不相交的子集，对每个子集进行 DP；在各个子问题求解完毕后，再针对子问题之间的关系进行合并或者递推。

状态设计

常见地，分组 DP 中的状态设计如下：

定义状态 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个数据中由前 $j$ 组数据所构成的答案，则状态转移方程为：

$dp[i][j] = \max{dp[k][j-1]+solve(k+1, i)}$

其中，$solve(k, i)$ 是一个求解 $[k, i]$ 内某一特殊问题的函数。

代码实现

dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, m+1):
        for k in range(j-1, i):
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j-1] + solve(k+1, i))

区间 DP

区间 DP 是指对区间上的所有可能情况进行递推求解的 DP 方式。在此类问题中，常常将问题转化成对区间的求解，然后再对区间不断求解。

状态设计

在区间 DP 中，常见地，状态的设计如下：

定义状态 $dp[i][j]$ 表示区间 $[i,j]$ 的答案，则状态转移方程为：

$dp[i][j] = \max_{k = i}^{j-1} {dp[i][k] + dp[k+1][j] + q[i] \cdot q[k+1] \cdot q[j+1]}$

其中，$q$ 数组是矩阵连乘问题中的矩阵大小，在此处是与对应的区间大小相互对应的。

代码实现

dp = [[0]*(n+2) for _ in range(n+2)]
for len in range(1, n):
    for i in range(1, n-len+1):
        j = i + len
        dp[i][j] = float("inf")
        for k in range(i, j):
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + q[i]*q[k+1]*q[j+1])

树形 DP

树形 DP 是指对树形结构的 DP，它利用树的特性逐步求解子问题，然后再向上合并。相较于区间 DP 和分组 DP 等，树形 DP 在状态转移方程设计上更为复杂，但同时解决的问题也更有广度和深度。

状态设计

常见地，树形 DP 中的状态设计如下：

定义状态 $f[u]$ 表示以 $u$ 为根的子树上的答案，则状态转移方程为：

$f[u] = \max{g[u],\ h[u]}$

其中，$g[u]$ 表示对当前结点 $u$ 的最大贡献，$h[u]$ 表示对整个以 $u$ 为根的子树的最大贡献。

代码实现

def dfs(u, fa):
    for v in u.edges:
        if v == fa: 
            continue
        dfs(v, u)
        g[u] = max(g[u], g[v] + u.v)
        h[u] = max(h[u], h[v])
    h[u] = max(h[u], g[u])

状态压缩 DP

状态压缩 DP 一般用于解决一些最短路问题、路径问题、旅行商问题等类型的问题。在此类问题中，每个状态通常可以通过一个二进制子集来表示，状态压缩 DP 主要就是利用状态压缩的特性，将问题的状态转化成一个由二进制位组成的状态码，然后再进行状态转移递推求解。

状态设计

在状态压缩 DP 中，通常将状态用 01 数组或者比特位来表示，例如：

定义状态 $dp[m][S]$ 表示在前 $m$ 个物品中，对于集合 $S$ 中已经装入的物品，所能获得的最大价值，则状态转移方程为：

$dp[m][S] = \max{dp[m-1][(S \backslash s) \cdot 2^k] + v[i]}$

其中，$v[i]$ 表示第 $i$ 个物品的价值，$s$ 表示 $i$ 在二进制状态下所在的位置，$k$ 表示 $2^j$，用于表示状态 $S$ 中 $s$ 所对应的二进制位是 1 还是 0。

代码实现

dp = [[-1]*2**n for _ in range(m)]
dp[0][0] = 0
for i in range(1,m):
    for j in range(2**n):
        for k in range(n):
            if j&(1<<k):
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-(1<<k)]+v[i][k])