数字DP | 介绍

数字DP是指一种动态规划问题，在这种问题中，数字被认为是一种可计算的对象，可以被加、减、乘、除，与其他数字进行比较等。数字DP问题通常涉及到数字的性质和相关的运算性质，如数字的位数、数字的各位数字的和、数字的最大值和最小值等。

数字DP问题可以通过使用DP技术，利用记忆化搜索等算法解决。在解决数字DP问题时，首先需要确定问题中数位的表示方式。可以将数位表示为数列或二维数组或是字符串。

接下来，需要本次DP的状态，即状态的定义，通常状态的定义与当前数字的特征有关。例如，对于数字ABCDEF，状态可以表示为：f[i][j][k]，其中i表示当前数位，j表示各位数位和的数值，k表示当前数字大于/等于/小于目标数字。

通过状态的定义，可以考虑状态的转移方程。如下所示：

f[i][j][1] = f[i-1][j-A[i]][1] * 10 + f[i-1][j-A[i]][0] + f[i-1][j-A[i]][2] (A[i]为当前数字的位值，1表示当前数字比目标数字小)
f[i][j][0] = f[i-1][j][0] * 10 + f[i-1][j][1] + f[i-1][j][2] (0表示当前数字等于目标数字)
f[i][j][2] = f[i-1][j+A[i]][2] * 10 + f[i-1][j+A[i]][1] + f[i-1][j+A[i]][0] (2表示当前数字比目标数字大)

以上方程为例，可以对当前状态进行计算。对于f[i][j][1]，表示当前数字的位值（即A[i]）小于目标数字，计算方法为当前数字的位值乘以10（表示当前位比后面一位大一个次幂）加上上一状态中各数位和为j-A[i]且为1的转移方程、上一状态中各数位和为j-A[i]且为0的转移方程、上一状态中各数位和为j-A[i]且为2的转移方程。

最后，需要记得设置边界条件（即数字的长度或特殊条件）和初始化状态（通常状态初始化都是1），以保证DP过程的正确性。

参考资料：

1. 数字DP学习笔记
2. 数字动态规划问题的思考
3. 数字DP题目集