教资会网络 | UGC NET CS 2018 年 12 月 – II |问题 38

​如果图（G）没有环或平行边，并且图中的顶点数（n）为 n≥3，则图 G 是哈密顿量，如果

(i) deg(v) ≥n/3 for each vertex v
(ii) deg(v) + deg(w) ≥ n whenever v and w are not connected by an edge.
(iii) E (G) ≥ 1/3 (n − 1 )(n − 2 ) + 2 

(A) (i) 和 (iii) 仅限
仅(B) (ii) 和 (iii)
(C) (iii) 仅
(D) (ii) 仅答案： (D)
解释：在没有环和平行边的哈密顿图 (G) 中：

• 根据顶点图中的狄拉克定理，对于 G 的每个顶点，deg (v) ≥ n / 2。
  因此，陈述 (i) 是错误的。
• 根据 Ore 定理 deg (v) + deg (w) ≥ n 对于每个不被边连接的 n 和 v 是图是哈密顿图的充分条件。
  因此，陈述 (ii) 为真。
• 如果 |E(G)| ≥ 1 / 2 * [(n – 1) (n – 2)] 则图是连通的，但不保证是哈密顿图。
  因此，陈述 (iii) 是错误的。

选项（D）是正确的。
这个问题的测验