用补码在图中寻找最大独立集的Java程序

简介

在图论中，独立集指的是一个图中一些顶点的集合，集合中的顶点两两之间没有连接。求解最大独立集问题是NP难问题，但是我们可以利用补码这个技巧，在图中寻找最大独立集。

补码的定义

在计算机中，用二进制表示一个整数时，正数的二进制表示和其本身是一样的。负数的计算机中，是用二进制表示它的绝对值，然后在最高位加一个1作为符号位表示它是负数。这种表示方法就叫做原码。

为了方便计算机处理有关减法的操作，人们想出了一种“补码”的表示方法。在补码表示中，一个负数的最高位是1，其余位是将它的绝对值用二进制表示后的结果，然后加上1。这个结果就是这个数的补码。用补码表示负数的优点在于，计算机中的减法运算可以不区分正负数。

寻找最大独立集的算法

1. 将图中的所有顶点的度数依次从小到大排序
2. 选择度数最小的顶点，把它所能连接的顶点及其本身都去掉，然后将该顶点加入最大独立集
3. 重复步骤2，直到图为空

Java代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

public class MaxIndependentSet {
    private int[][] graph;
    private boolean[] nodes;
    private int n;

    public MaxIndependentSet(int[][] graph, int n) {
        this.graph = graph;
        this.n = n;
        this.nodes = new boolean[n];
        Arrays.fill(this.nodes, true);
    }

    public List<Integer> getMaxIndependentSet() {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        while (true) {
            int minDegree = Integer.MAX_VALUE;
            int candidate = -1;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (nodes[i]) {
                    int count = 0;
                    for (int j = 0; j < n; j++) {
                        if (graph[i][j] != 0 && nodes[j]) {
                            count++;
                        }
                    }
                    if (count < minDegree) {
                        minDegree = count;
                        candidate = i;
                    }
                }
            }
            if (candidate == -1) {
                break;
            }
            res.add(candidate);
            nodes[candidate] = false;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                graph[candidate][i] = 0;
                graph[i][candidate] = 0;
            }
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] graph = {
                {0, 1, 1, 0, 0, 0},
                {1, 0, 1, 1, 1, 0},
                {1, 1, 0, 0, 1, 1},
                {0, 1, 0, 0, 1, 0},
                {0, 1, 1, 1, 0, 1},
                {0, 0, 1, 0, 1, 0},
        };
        int n = graph.length;
        MaxIndependentSet solution = new MaxIndependentSet(graph, n);
        List<Integer> res = solution.getMaxIndependentSet();
        Collections.sort(res);
        System.out.println(res);
    }
}

解释说明

以上的算法核心是每次找到度数最小的节点，由于度数最小的节点要连接其它节点，所以可以大大减少最大独立集的规模。

我们定义了一个nodes数组，它的长度是n，表示节点是否被访问过。初始时，nodes数组的所有元素都是true。每次找到度数最小的节点，将它的所有连接变为0，然后将nodes数组对应的位置变为false。这样循环下来，就能找到最大独立集。

总结

在图中寻找最大独立集是NP难问题，但是利用补码的技巧可以大大减少最大独立集的规模。这里我们演示了Java代码的实现过程，也讲解了算法需要注意的事项，希望对读者们理解最大独立集问题有所帮助。