用行或列的最大 GCD 替换每个矩阵元素

介绍

给定一个 m x n 的矩阵，我们可以将每个元素用所在行或列的最大公约数替换，最终得到一个新的矩阵。这个问题也可以称为“用行/列最大公因数替换矩阵元素”。

这个问题具有一定的实际意义，例如对于一个网格图，可以计算出每个格子与其相邻格子之间的距离，这些距离可以用最大公约数表示。

算法

此算法使用两个列表分别存储每行和每列的最大公约数，并将其用于替换矩阵中的每个元素。

具体步骤如下：

1. 遍历每一行，计算出所在行的最大公约数。
2. 遍历每一列，计算出所在列的最大公约数。
3. 遍历整个矩阵，对于第 i 行第 j 列的元素，将其替换为第 i 行的最大公约数和第 j 列的最大公约数的较大值。

代码如下：

import math

def replace_elements(matrix):
    """
    Replace each element of the matrix with the max GCD of its row or column.
    """
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    row_gcds = [math.gcd(*row) for row in matrix]
    col_gcds = [math.gcd(*col) for col in zip(*matrix)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            matrix[i][j] = max(row_gcds[i], col_gcds[j])
    return matrix

示例

例如，给定以下矩阵：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

计算每行和每列的最大公约数，得到以下两个列表：

row_gcds = [1, 1, 1]
col_gcds = [3, 2, 3]

然后，用最大公约数替换每个元素，得到以下新矩阵：

3 3 3
3 3 3
3 3 3

总结

这个问题涉及到了最大公约数的计算，该算法使用了 Python 的内置函数 math.gcd。此外，该算法使用了列表推导来计算每行和每列的最大公约数。

这个算法的时间复杂度为 O(mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。