Manacher算法-线性时间最长回文子串-第1部分

回文子串指的是正反读都一样的字符串，如“level”，“noon”等。在字符串处理中，寻找最长回文子串是一个经典问题，也是一个非常有趣的问题。本文将介绍Manacher算法，该算法可以在线性时间内求解最长回文子串。

算法思路

Manacher算法是一种基于对称性的思想，该算法在处理每个字符时，先找到以当前字符为对称中心的最长回文子串半径，然后继续向后遍历字符串。通过维护一个“右边界”和“对称中心”两个变量，可以以线性时间复杂度完成遍历。

算法流程

设字符串为s，s长度为n，回文子串的长度为len，对称中心为mid。算法具体流程如下：

1. 构造新字符串t：在s中每个字符之间添加特殊字符“#”，并在s的开头和结尾添加字符“$”和“%”，用于避免越界。例如，字符串s=“ABB”转换为字符串t=“$#A#B#B#%”。

2. 初始化数组P：P[i]代表以t[i]为对称中心的最长回文子串的半径长度。

3. 初始化变量mid和right：mid表示已经求得的最长回文子串的对称中心，right表示mid对应的最长回文子串的右边界。

4. 遍历字符串t：从左到右遍历t数组，对于每个字符t[i]，先判断i是否在已经求得的最长回文子串的右边界之内。如果i在最长回文子串的右边界之内，则将P[i]的初值设为P[mid-(i-mid)]（即t[i]关于mid的对称位置的回文半径），同时扩展P[i]的范围（向左右两边扩展），直至不能扩展为止。如果i在最长回文子串的右边界之外，就以t[i]为中心，向外扩展找最长回文子串，并更新mid和right的值。

5. 遍历P：在P数组中找到最大值，其即为最长回文子串的长度。

6. 通过最长回文子串的长度和对称中心mid，可以求得最长回文子串在s中的位置和具体内容。

代码实现

下面是Python语言实现Manacher算法的代码片段（以字符串s=“babad”为例）：

# 构造新字符串t
t = '$#' + '#'.join(list(s)) + '#%'
n = len(t)

# 初始化数组P
P = [0] * n

# 初始化中心点和右边界
mid, right = 0, 0

for i in range(1, n-1):
    if i < right:
        P[i] = min(P[mid-(i-mid)], right-i)
    
    while t[i-P[i]-1] == t[i+P[i]+1]:
        P[i] += 1
    
    if i + P[i] > right:
        mid, right = i, i + P[i]

# 找到最长回文子串的长度
max_len, max_mid = max((P[i], i) for i in range(1, n-1))

# 求得最长回文子串
start = (max_mid - max_len) // 2
end = start + max_len - 1
longest_palindrome = s[start:end+1]

总结

Manacher算法通过对称性的思想，以线性时间复杂度解决了最长回文子串的求解问题，是字符串处理中非常经典和有趣的问题。掌握了Manacher算法，可以为字符串处理类问题提供有效的思路和解决方法。