门| Sudo GATE 2021 测验 |问题 17

问题描述

问题 17 给出了一个 $N \times N$ 的矩阵，表示一个由 0 和 1 组成的带门的布尔电路。1 表示门的位置，0 表示空位。图中的每个门将矩阵分割为四个部分：左上、右上、左下和右下。图中对于门的类型 （AND、OR、NAND、NOR和XOR）进行了说明。每种类型的门均将输入的 2 个单元格映射到 1 个输出单元格。 电路输入为每个单元格的值，输出为右下角单元格的值。设输入单元格的总数为 $n$，门的总数为 $m$。

问题思路

本题需要实现一个布尔电路的模拟器，即输入一张由 0 和 1 组成的矩阵，根据门的类型进行计算后得到右下角单元格的值。

首先需要定义一个 Cell 类，用于表示每个单元格的状态，包括它的值（0 或 1）、是否被更新过（防止无限循环）以及其所在的行列坐标。

接着定义一个 Gate 类，用于表示每个门的类型和它所对应的输入和输出单元格。

然后通过输入的矩阵构建所有的 Cell 实例和 Gate 实例，模拟电路运算的过程即可得到最终的输出，具体实现细节请见代码注释。

代码实现

class Cell:
    def __init__(self, value, row, col):
        self.value = value  # 该单元格的值
        self.updated = False  # 是否更新过
        self.row = row  # 该单元格所在的行数
        self.col = col  # 该单元格所在的列数

class Gate:
    def __init__(self, gate, input_cell1, input_cell2, output_cell):
        self.gate = gate  # 门的类型，取值为 AND、OR、NAND、NOR 和 XOR
        self.input1 = input_cell1  # 输入单元格1的实例
        self.input2 = input_cell2  # 输入单元格2的实例
        self.output = output_cell  # 输出单元格的实例

        # 根据门的类型决定输出单元格的值
        if gate == 'AND':
            self.output.value = input_cell1.value & input_cell2.value
        elif gate == 'OR':
            self.output.value = input_cell1.value | input_cell2.value
        elif gate == 'NAND':
            self.output.value = not (input_cell1.value & input_cell2.value)
        elif gate == 'NOR':
            self.output.value = not (input_cell1.value | input_cell2.value)
        elif gate == 'XOR':
            self.output.value = input_cell1.value ^ input_cell2.value

# 定义门的类型列表
gates = ['AND', 'OR', 'NAND', 'NOR', 'XOR']

def simulate_circuit(matrix):
    n = len(matrix)
    # 根据输入矩阵构建每个单元格的实例
    cells = [[Cell(matrix[i][j], i, j) for j in range(n)] for i in range(n)]
    # 根据单元格实例构建每个门的实例
    gates = []
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                # 右上角单元格
                if i-1 >= 0 and j+1 < n and matrix[i-1][j] == 1 and matrix[i][j+1] == 1 and matrix[i-1][j+1] == 0:
                    input1 = cells[i-1][j]
                    input2 = cells[i][j+1]
                    output = cells[i][j]
                    gates.append(Gate('AND', input1, input2, output))
                # 左上角单元格
                elif i-1 >= 0 and j-1 >= 0 and matrix[i-1][j] == 1 and matrix[i][j-1] == 1 and matrix[i-1][j-1] == 0:
                    input1 = cells[i-1][j]
                    input2 = cells[i][j-1]
                    output = cells[i][j]
                    gates.append(Gate('OR',  input1, input2, output))
                # 右下角单元格
                elif i+1 < n and j+1 < n and matrix[i+1][j] == 1 and matrix[i][j+1] == 1 and matrix[i+1][j+1] == 0:
                    input1 = cells[i+1][j]
                    input2 = cells[i][j+1]
                    output = cells[i][j]
                    gates.append(Gate('NOR', input1, input2, output))
                # 左下角单元格
                elif i+1 < n and j-1 >= 0 and matrix[i+1][j] == 1 and matrix[i][j-1] == 1 and matrix[i+1][j-1] == 0:
                    input1 = cells[i+1][j]
                    input2 = cells[i][j-1]
                    output = cells[i][j]
                    gates.append(Gate('NAND', input1, input2, output))
                # 水平的门
                elif j-1 >= 0 and j+1 < n and matrix[i][j-1] == 1 and matrix[i][j+1] == 1 and matrix[i][j] == 0:
                    input1 = cells[i][j-1]
                    input2 = cells[i][j+1]
                    output = cells[i][j]
                    gates.append(Gate('OR', input1, input2, output))
                # 垂直的门
                elif i-1 >= 0 and i+1 < n and matrix[i-1][j] == 1 and matrix[i+1][j] == 1 and matrix[i][j] == 0:
                    input1 = cells[i-1][j]
                    input2 = cells[i+1][j]
                    output = cells[i][j]
                    gates.append(Gate('AND', input1, input2, output))

    # 模拟电路运算
    output = None
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            # 遍历每个单元格
            cell = cells[i][j]
            if not cell.updated:
                cell.updated = True
                # 对于每个单元格，遍历它的输出门，更新所有相关的单元格的值
                for gate in gates:
                    if gate.input1 == cell or gate.input2 == cell:
                        gate.output.value = gate.gate == 'NOT' and not gate.input1.value or \
                                            gate.gate != 'NOT' and (gate.input1.value, gate.input2.value) in {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}
                        if gate.output == cells[n-1][n-1]:
                            output = gate.output.value
                        gate.output.updated = True
    return output

复杂度分析

该算法通过遍历输入矩阵来构建每个单元格的实例，时间复杂度为 $O(n^2)$。接着通过遍历所有的单元格和门来进行模拟电路的运算，时间复杂度也为 $O(n^2)$。因此总的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是输入矩阵的边长。