帕斯卡三角形

在Math 中，帕斯卡的三角形是一个三角形，由永无休止的数字组成。帕斯卡三角最早是由法国Math 家帕斯卡认为，在17^世纪。他曾在概率论研究中使用过Pascal的Triangle。之后，全世界许多学者对其进行了研究。

在本节中，我们将学习什么是Pascal的Triangle，其用法，公式和属性。

什么是帕斯卡的三角形?

帕斯卡的三角形是一个永无止境的等边三角形，其中数字的排列以三角形的方式排列。三角形从1开始，并继续以三角形形式将数字放在其下方。记住，帕斯卡的三角永远不会结束。

在Pascal的Triangle中，每个数字都是其上方两个数字的和。

帕斯卡三角符号

在杨辉三角的最上面一行是^第0行。下一行下方的^第0行是第¹行，然后第2^次，第^3，依此类推。

Pascal三角形中每行的最左边元素或条目被视为该行的^{第0个元素。}右到0 ^th元素中的元素是该行^的第1个元件，等等。

根据上面的图像，我们得出的结论是，帕斯卡三角形中的^每个第i行都包含i + 1元素。

帕斯卡三角形的使用

由于其简单易用的模式，它被用于Math 的许多领域，例如概率，代数，数论，组合论和分形。它也可用于找到多项式的系数。

如何找到帕斯卡三角形的项

它是一个三角形，遵循将两个数字相加的规则。为了获得一个新的三角形数字，我们将数字添加到确定行上方(我们正在为其计算数字)。在下图中，指向的条目显示了其上方两个条目的总和。

帕斯卡三角形的性质

Pascal三角形具有以下属性：

• 它是对称的，表示三角形具有镜像。在下图中，红色条目显示了对称性。
• 每行的最左边和最右边的条目是1 。在下图中，红色和绿色项是Pascal三角形的最左和最右项，即1。
• 第一个对角线(蓝色)和最后一个对角线显示1 。
• 第二个对角线(粉红色)显示计数数字，例如1、2、3、4等。
• 第三对角线(黄色)显示三角形数字，例如1、3、6、10等。
• 行的总和为2的幂。幂对应于行号。
• 每行的幂为11。该幂对应于行号。
• 每行以1开始和结束。
• 在第二个对角线中，每个数字的平方等于它旁边和下面的数字的总和，如下图所示。
• 帕斯卡三角的^第i行包含列在第i + 1个元素。
• 永无止境。

式

通过使用组合公式，我们可以找到帕斯卡三角形的任何条目。

在上式中， n _{C r} )表示从n中选择r。我们也可以将n _{C r}写成C(n，r)，n ^C r 。

哪里，

n：集合的大小(样本中项目的总数)。

C：是组合。

r：是子集大小(要从样本中选择的项目数)

有时，我们也用k代替r 。因此，我们可以将上述公式用n和k表示为：

使用上面的公式，让我们找到Pascal三角形的一些条目。

例子：求^第4行的^第4项的条目。

解：

我们必须找到^第4行的^第4项的条目。在此，n ＝ 4，r ＝ 4。

将n和r的值放在公式中，我们得到：

因此，^第4行的^第4项是1。

示例：查找^第6行的^第5项的条目。

解：

我们必须找到^第6行的^第5项的条目。在此，n ＝ 6且r ＝ 5。

将n和r的值放在公式中，我们得到：

因此，^第6行的^第5项是6。

同样，我们可以直接找到Pascal三角形的任何条目。

二项式展开

在代数中，二项式是用于将两个事物加在一起的术语。它指的是系数的模式(变量前的数字)。当我们将二项式本身乘以一定次数后，就得到了系数。它写为(a + b) ⁿ 。

借助Pascal三角形，我们还可以确定二项式展开的系数。考虑第二行的多项式展开式，即(a + b) ² = a ² + 2ab + b ² = 1a ² b ⁰ + 2a ¹ b ¹ + 1a ⁰ b ² 。在此多项式中，系数为1、2、1 。

同样，我们还可以找到其他二项式展开式。

下图显示了Pascal三角形的前11行。