数值积分(正交)

积分∫f(x)dx的数值评估称为正交。

函数f(x)在某个时间间隔[a，b]上的数值积分的一般形式是在有限数量(N +1)个采样点(节点)上的函数值的加权总和，表示为“正交” '：

MATLAB提供了用于数字积分的内置函数：

四边形

它在自适应辛普森规则的基础上集成了超过指定限制的指定函数。遵循自适应规则，可以通过在积分范围内自适应地选择子区间的估计值，同时评估组成积分的总和来提高准确性。

四元组

它在自适应Lobatto正交的基础上集成了超过指定限制的指定函数。这个比四边形更准确，但是它也使用更多的函数求值。

quad和quad1的语法如下：

要使用quad1 ，请在语法中将quad替换为quad1 。如语法所示，这两个函数都要求我们提供被积分作为用户编写的函数。

可选的输入参数tol指定绝对公差(默认值为10 ^-6 )。另一个可选参数trace的非零值表示每个步骤的一些中间计算。

可选参数p1，p2等除了x之外，还作为输入参数传递给用户定义的函数。

使用这些内置函数进行数值积分的步骤包括：

步骤1：编写一个函数，该函数在给定x值的情况下返回被积f(x)的值。我们的函数应该能够接受输入值x作为向量，并产生被积数(输出)的值作为向量。

步骤2：决定使用哪个函数-quad或quad1 (quad更快，但不如quad1准确)。默认公差值是10 ^-6 。

例

让我们计算以下积分

这种集成与误差函数erf密切相关。

MATLAB还提供了误差函数erf作为内置函数，我们可以以闭合形式(根据误差函数)评估我们的积分，并比较数值积分的结果。让我们按照前面概述的步骤进行操作。

步骤1：下面是在给定的x的计算结果被积(x被允许为载体)的函数。

function y = erfcousin(x);
% ERFCOUSIN function to evaluate exp(-x^2)
y= exp(-x.^2);        % the array operator .^ is used for vector x.

步骤2：让我们以最简单的语法使用quad：

>> y=quad ('erfcousin', 1/2, 3/2)            % here a=1/2, b=3/2
y=
    0.3949

积分的精确结果(最多10位小数)为0.3949073872。在前面的示例中，我们使用了默认公差。下表显示了使用积分进行的一些实验的结果。我们同时使用Quad和Quad1进行集成。对于四边形，我们将具有不同公差的结果制成表格。在表中，我们列出了积分的值，％误差和函数求值的数量。对于Quad1，仅提供默认公差即可提供相当准确的解决方案。