数组中最大平衡和

在本题中，我们需要找到一个数组中的最大平衡和。所谓平衡和，就是将数组分成两部分，使得两部分中的元素之和相等。我们需要返回这个平衡和中的最大值。

算法思路

这道题可以用动态规划来解决。我们可以定义一个数组 dp 保存前 i 个元素中的最大平衡和。初始时 dp[0] = 0。那么对于第 i 个元素，它有两种情况：

1. 加入后不改变平衡和，即左半部分的和等于右半部分的和。此时 dp[i] = dp[i - 1]。

2. 加入后会改变平衡和，即左半部分的和不等于右半部分的和。我们需要找到之前加入的哪一个元素可以与 i 组成平衡，并且这一个元素的贡献必须是最大的。假设这个元素是 j，那么将 i 加入右部分的平衡和为 sum[i] - sum[j]，加入左部分的平衡和为 sum[j]。我们需要使 sum[j] 尽量大，因此 j 的取值范围为 [0, i - 1]。此时 dp[i] = max(dp[j] + sum[i] - sum[j])。

由于一次完整的遍历需要定位所有 dp[j] 的值，因此时间复杂度是 $O(n^2)$。可是，我们可以改进时间复杂度。

注意到，我们的问题可以转化为：对于所有 $i$，求最大的 $j < i$，使得 $sum[j] \le sum[i] - sum[j]$。为了方便起见，我们可以将 $sum$ 数组中的元素全部乘以 $2$，这样问题就变成了：对于所有 $i$，求最大的 $j < i$，使得 $sum[j] \le sum[i]$。由于满足 $j < i$，因此在遍历到 $i$ 的时候，只需要知道之前所有数中的最大值即可。用一个变量 max_before 来记录前缀最大值即可，时间复杂度优化到了 $O(n)$。

代码实现

int max_balanced_subarray(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    if (n < 2) return 0;
    vector<int> sum(n);
    sum[0] = nums[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        sum[i] = sum[i - 1] + nums[i];
    }
    int max_val = 0, max_before = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        max_val = max(max_val, sum[i] - max_before);
        max_before = max(max_before, sum[i]);
    }
    return max_val;
}

总结

本题使用了动态规划的思想，在时间复杂度上还做了一些优化。细节还是挺多的，读者需要认真理解代码。