📅  最后修改于: 2023-12-03 15:26:11.298000             🧑  作者: Mango
在本题中,我们需要找到一个数组中的最大平衡和。所谓平衡和,就是将数组分成两部分,使得两部分中的元素之和相等。我们需要返回这个平衡和中的最大值。
这道题可以用动态规划来解决。我们可以定义一个数组 dp
保存前 i
个元素中的最大平衡和。初始时 dp[0] = 0
。那么对于第 i
个元素,它有两种情况:
加入后不改变平衡和,即左半部分的和等于右半部分的和。此时 dp[i] = dp[i - 1]
。
加入后会改变平衡和,即左半部分的和不等于右半部分的和。我们需要找到之前加入的哪一个元素可以与 i
组成平衡,并且这一个元素的贡献必须是最大的。假设这个元素是 j
,那么将 i
加入右部分的平衡和为 sum[i] - sum[j]
,加入左部分的平衡和为 sum[j]
。我们需要使 sum[j]
尽量大,因此 j
的取值范围为 [0, i - 1]
。此时 dp[i] = max(dp[j] + sum[i] - sum[j])
。
由于一次完整的遍历需要定位所有 dp[j]
的值,因此时间复杂度是 $O(n^2)$。可是,我们可以改进时间复杂度。
注意到,我们的问题可以转化为:对于所有 $i$,求最大的 $j < i$,使得 $sum[j] \le sum[i] - sum[j]$。为了方便起见,我们可以将 $sum$ 数组中的元素全部乘以 $2$,这样问题就变成了:对于所有 $i$,求最大的 $j < i$,使得 $sum[j] \le sum[i]$。由于满足 $j < i$,因此在遍历到 $i$ 的时候,只需要知道之前所有数中的最大值即可。用一个变量 max_before
来记录前缀最大值即可,时间复杂度优化到了 $O(n)$。
int max_balanced_subarray(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
if (n < 2) return 0;
vector<int> sum(n);
sum[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
sum[i] = sum[i - 1] + nums[i];
}
int max_val = 0, max_before = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
max_val = max(max_val, sum[i] - max_before);
max_before = max(max_before, sum[i]);
}
return max_val;
}
本题使用了动态规划的思想,在时间复杂度上还做了一些优化。细节还是挺多的,读者需要认真理解代码。