用于数组的平衡索引的 C++ 程序

简介

在处理大规模数据时，往往需要对数据进行排序和查找等操作，而数组是数据结构中最基础的部分。对于大规模的数组，使用普通的索引操作可能会导致效率低下的问题。平衡索引就是为了避免这些问题而出现的一种解决方案。平衡索引是基于二叉搜索树的一种数据结构，可以快速地进行排序和查找等操作。

本篇文章将介绍如何在 C++ 中实现用于数组的平衡索引。具体而言，我们将包括以下内容：

• 平衡索引的基本原理
• 平衡索引的实现
• 平衡索引的使用

基本原理

平衡索引基于二叉搜索树实现。二叉搜索树是一种二叉树，对于每个节点，它的左子树的值都比它小，右子树的值都比它大。

平衡索引实现的核心在于保证二叉搜索树的平衡性。平衡索引使用了自平衡的二叉搜索树，即 AVL 树。AVL 树是一种平衡二叉搜索树。在 AVL 树中，任意节点的左子树和右子树的高度最多相差 1，因此可以保证搜索和插入的时间复杂度为 $\log_2n$。

平衡索引的实现

以下为用于数组的平衡索引的 C++ 程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

class TreeNode {
public:
    int val, size, height;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;

    TreeNode(int val) {
        this->val = val;
        this->size = 1;
        this->height = 1;
        this->left = this->right = nullptr;
    }

    ~TreeNode() {
        delete this->left;
        delete this->right;
    }

    int get_balance_factor() {
        int left_height = this->left ? this->left->height : 0;
        int right_height = this->right ? this->right->height : 0;
        return left_height - right_height;
    }

    void recalculate() {
        int left_height = this->left ? this->left->height : 0;
        int right_height = this->right ? this->right->height : 0;
        this->height = max(left_height, right_height) + 1;
        this->size = (this->left ? this->left->size : 0) + (this->right ? this->right->size : 0) + 1;
    }
};

class BalancedIndex {
public:
    int* nums;
    int len;
    TreeNode* root;

    BalancedIndex(int* nums, int len) {
        this->nums = nums;
        this->len = len;
        sort(nums, nums + len);
        this->root = build_balanced_tree(nums, 0, len - 1);
    }

    ~BalancedIndex() {
        delete this->root;
    }

    TreeNode* build_balanced_tree(int* nums, int start, int end) {
        if (start > end) {
            return nullptr;
        }
        int mid = (start + end) / 2;
        TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
        root->left = build_balanced_tree(nums, start, mid - 1);
        root->right = build_balanced_tree(nums, mid + 1, end);
        root->recalculate();
        return root;
    }

    int count_smaller(int val) {
        int count = 0;
        TreeNode* cur = this->root;
        while (cur != nullptr) {
            if (val <= cur->val) {
                cur = cur->left;
            } else {
                count += (cur->left ? cur->left->size : 0) + 1;
                cur = cur->right;
            }
        }
        return count;
    }
};

上述代码中，我们定义了一个 TreeNode 类来表示平衡索引中的节点。节点包含了三个成员变量：

• val：该节点对应的值
• size：以该节点为根的子树中节点的个数
• height：以该节点为根的子树的高度

TreeNode 类还包含了两个成员函数：

• get_balance_factor：获取该节点的平衡因子。平衡因子是左子树高度与右子树高度的差值
• recalculate：更新该节点的 size 和 height 值

接下来，我们定义了一个 BalancedIndex 类来实现平衡索引。BalancedIndex 类包含了三个成员变量：

• nums：待排序的数组
• len：数组的长度
• root：平衡索引的根节点

BalancedIndex 类包含了两个成员函数：

• build_balanced_tree：构建一个平衡二叉搜索树。使用经典的二分查找思路，取数组的中间位置作为根节点，然后递归构建左子树和右子树，只需要在每层递归里面进行一次二分查找即可。构建完之后，通过调用 TreeNode 类的 recalculate 函数，计算 size 和 height 值。
• count_smaller：查询小于 val 的数字个数。我们从平衡索引的根节点开始，向下逐层搜索，根据当前节点的 val 值和查询的 val 值的大小关系，决定向左子树还是右子树搜索。对于每个节点，都可以通过计算左子树的 size 值和当前节点的 size 值求出比该节点小的数字的个数，然后累加即可。

平衡索引的使用

假设我们有一个整型数组 nums，我们现在想要查询其中小于等于 val 的数字的个数。我们可以通过以下步骤来实现：

int nums[] = { 19, 8, 3, 5, 2, 6, 9 };
int len = sizeof(nums) / sizeof(*nums);
BalancedIndex balance_index(nums, len);
int val = 7;
int count = balance_index.count_smaller(val);
cout << count << endl;

上述代码中，我们首先定义了一个整型数组 nums 和数组的长度 len。然后，我们创建了一个 BalancedIndex 对象，该对象会自动对 nums 数组进行排序。接着，我们定义了查询的数字 val，使用 BalancedIndex 类的 count_smaller 函数查询小于等于 val 的数字个数，最后输出结果。

结语

平衡索引是一种高效的对数组进行排序和查询的解决方案。本文从平衡索引的基本原理、实现和使用三个方面进行了介绍，并给出了用于数组的平衡索引的 C++ 程序。希望读者能够在实际开发中灵活地运用这种算法，提高自己的编程效率。