常见复函数的解析

复函数的解析性是一个重要的属性。但是，存在一大类分析函数，这些函数是我们在本节中感兴趣的主题。

有理函数

有理函数是可以表示为P(z)/Q(z)形式的函数，其中P(z)和Q(z)是多项式。有理函数在任何地方都是解析的，除了在复平面（或函数的极点）中Q(z)变为零的地方。为了证明有理函数通常是解析的，我们可以尝试将 Cauchy-Riemann 方程应用于一般有理函数，其中 P(z) 是 n 次多项式，Q(z) 是 m 次多项式。但是，这种方法很乏味，您可能会在中途放弃。

证明这一点的一个有启发性的方法是观察解析函数遵循实函数的导数所满足的一般规律，例如两个函数的和或差的导数是单个函数的导数的和或差。同样，我们有熟悉的产品规则。我们可以把它们写成：

[f(z)+g(z)]' = f'(z)+g'(z) and [f(z)g(z)]' = f'(z)g(z)+f(z)g'(z) and [cf(z)]' = cf'(z) .

显然，z 的幂是解析的，因为 z 是解析的。多项式是 z 的幂乘以常数的总和。因此，它们显然是分析的。

同样，我们也有商规则。

[f(z)/g(z)]' = [f'(z)g(z) - f(z)g'(z)]/g(z)2

前提是 g(z) 不等于 0。所以有理函数是解析的，除了函数的极点。

关于解析函数的一个有趣的事情是任何包含 z* 的函数都不是解析函数。如果 z* 依赖性从分子和分母中消除，则任何有理函数都是解析函数。我们可以检查它是否是一个有效的标准。表达z* = x +iy ，我们有

现在，让我们将 f 分成 u 和 v。

所以，如果 f 是解析的，那么它应该是零。因此，f 中不应该有任何 z*，因为 f 是解析的。

复指数

令 z = x + iy 为复数并将复指数 exp(z) 或 e ^z定义为：

exp(z) = exp(x + i y) = ex(cosy + i siny)

exp(z) 不仅是解析的，而且是完整的。我们可以将 exp(z) 分解为实部和虚部，

u(x,y) = excosy and v(x,y) = exsiny

Cauchy-Riemann 方程由 exp(z) 满足，

所以 exp(z) 的导数是

就像真正的指数函数一样！

指数函数具有许多类似于实指数的性质，例如exp(z1+z2)=exp(z1)exp(z2) 。

然而，复指数有一个有趣的特征，没有真正的类比——它是周期性的，周期为 2πi。这是微不足道的，因为根据定义，我们可以看到

exp(z+2πi) = exp(x + i y + 2πi ) = ex[cos(y+2π) + i sin(y+2π)] = ex(cosy + i siny) = exp(z) 

正弦和余弦是周期性的，周期为 2π。

这意味着指数函数不是一对一的。尤其，

exp(z1) = exp(z2) implies z1 = z2 +2πik, where k ∈ I

因此，我们可以将整个 Argand 平面划分为宽度为 2π 的水平条带，其中 exp(z) 是一对一的。

复三角函数

我们定义：

它们是完整的（检查！）。此外，它们共享一些真正的正弦和余弦的属性。

然而，实三角函数和复三角函数之间有一个重要区别：实正弦和余弦函数的范围在 -1 和 1 之间，而它们的复数函数则不是。为了看到这一点，让我们将它们分解为实部和虚部：

我们看到了双曲函数，它们显然是不受约束的。

复对数

通过与真正的自然对数类比，我们将复对数定义为复指数函数的逆。换句话说，我们说非零复数 z 的对数是任何复数 w 使得 exp(w) = z。换句话说，我们定义函数log(z) 为

w = log(z) if and only if z = exp(w) .

根据指数函数的周期性，如果w = log(z) ，那么对于任何整数 k， w + 2πik也是如此。因此我们看到 log(z) 是一个多值函数。

实际上，由于 z arg(z) 的自变量函数的多值性，log(z) 是多值的。我们知道每个复数都可以表示为 z = |z|e ^iθ ，其中 |z|是 z 的大小，θ=arg(z)。通常我们取arg(z)的主值，即-π<θ≤π。但是，任何 θ+2π 都会一样好。特别是，arg(z) = Arg(z) + 2πk ，其中 Arg(z) 表示 arg(z) 和 k ∈ I的主值。

Now, log(z) = Log|z| + i arg(z) = Log|z| + i Arg(z) + 2πik.

其中日志|z|表示实数对数函数，因为 |z|是（显然）真实的。

上述定义成立，因为：

exp[ Log|z|+i arg(z) ] = eLog|z|[ cos(arg(z)) + i sin(arg(z)) ] = x + i y = z.

So, log(1) = Log|1|+i arg(1) = 2πik and log(-1) = Log|-1| + i arg(-1) = iπ + 2πik = i(2k+1)π . 

复数对数具有类似于实数对数的性质。

log(z1.z2) = log(z1)+log(z2) and log(z1/z2) = log(z1) - log(z2) .

当然，如果我们为每个定义添加 2πik，这些定义同样适用。一般来说，

log(z1.z2) = log(z1)+log(z2) + 2πik and log(z1/z2) = log(z1) - log(z2) + 2πik .

我们现在转向讨论复对数函数的解析特性。为了讨论函数的解析性，我们需要研究它的可微性，为此，我们需要能够对其求导：

我们遇到了一个直接的障碍：由于函数log(z) 是多值的，我们必须确保分子中的两个对数函数在极限中趋向于相同的值，否则极限将不存在。换句话说，我们必须以一致的方式为 log函数选择无限多个值之一。这种限制多值函数的值以使其在某个区域（在上面的示例中是 z0 的某个邻域）成为单值的方法称为选择函数的分支。例如，我们定义对数函数的主分支 Log(z) 为

Log(z) = Log |z| + i Arg(z). 

函数Log(z) 是单值的，但要付出代价：它在整个复平面上不再连续，因为 Arg(z) 在整个复平面上不连续。自变量函数的主分支 Arg(z) 沿负实轴不连续。看这个，取z = -x + iε，其中x>0，ε从两个方向趋于0，即ε⇢0+和ε⇢0-。当 ε⇢0+ 时，Arg(z) = π 并且当 ε⇢0- 时，Arg(z) = -π。因此，对于所有 x<0，Arg(z) 都是不连续的。因此，Log(z) 也是不连续的。

令 D 表示复平面中除实数和非正数外的所有点；换句话说，D 是非正实轴的补码。 Log(z) 对于 D 中的所有点都是单值且连续的。我们现在将检查它在那里是否也是解析的。为此，我们需要计算它的导数。

在哪里到达第二行，我们使用了 w = w ₀意味着 z = z ₀ （指数函数的单值性）这一事实，为了到达第三行，我们使用 D 中 Log(z) 的连续性来推断w → w ₀作为 z → z ₀ 。现在使用 z = e ^w我们看到我们在这里得到的是指数函数导数的倒数，

与实际微积分中的结果相同。该结果适用于 D 中的所有点，因此 Log(z) 在 D 中是解析的。

复杂的力量

使用我们可以使用的对数函数，我们能够定义复数的复数幂。设 α 为复数。对于所有 z ≠ 0，我们定义

参数的多值性意味着通常 z ^α将有无数个值。我们可以稍微改写一下上面的表达式以使这一点更明显：

其中 k 是一个整数。