概率的性质

概率是数学中的一个分支，它指定事件发生的可能性。概率的值介于 0 和 1 之间。零 (0) 表示不可能的事件，而一 (1) 表示肯定（肯定）会发生。下面提到了概率的一些属性-

概率的性质

1. 事件的概率可以定义为事件有利结果的数量除以事件可能结果的总数。

Probability(Event)=(Number of favorable outcomes of an event) / (Total Number of possible outcomes)

示例：抛硬币时得到尾巴的概率是多少？

解决方案：

Number of Favorable Outcomes- {Tail} = 1
Total Number of possible outcomes- {Head, Tail} - 2
Probability of getting Tail= 1/2 = 0.5

2. 确定/确定事件的概率为 1。

示例：掷骰子时得到 1 到 6 之间数字的概率是多少？

解决方案：

Number of favorable outcomes- {1,2,3,4,5,6} = 6
Total Possible outcomes- {1,2,3,4,5,6} = 6
Probability of getting a number between 1 to 6= 6/6 = 1
Probability is 1 indicates it is a certain event.

3. 不可能事件的概率为零 (0)。

示例：掷骰子时得到大于 6 的数字的概率是多少？

解决方案：

Number of favorable outcomes - {} = 0
Total possible outcomes - {1,2,3,4,5,6} = 6
Probability(Number>6) = 0/6 = 0
Probability Zero indicates impossible event.

4. 事件的概率总是介于 0 和 1 之间。它总是正数。

0 <= Probability(Event) <= 1

示例：我们可以注意到，在上述所有示例中，概率始终介于 0 和 1 之间。

5. 如果 A 和 B 是 2 个互斥事件，则 P(AUB) = P(A) + P(B)。

注意：如果两个事件不能同时发生，则两个事件是互斥的。

示例：抛硬币时出现正面和反面的概率属于互斥事件。

解决方案：

To solve this we need to find probability separately for each possibility. 
i.e, Probability of getting head and Probability of getting tail and sum of those to get P(Head U Tail). 
P(Head U Tail)= P(Head) + P(Tail) = (1/2)+(1/2) = 1

6. 基本事件是只有一个结果的事件。这些事件也称为原子事件或样本点。实验中此类基本事件的概率之和始终为 1。

示例：当我们抛硬币时，可能的结果是正面或反面。这些单独的事件，即样本空间的仅头部或仅尾部，称为基本事件。

解决方案：

Probability of getting only head=1/2
Probability of getting only tail=1/2
So, sum=1.

7. 互补事件的概率之和为 1。

P(A)+P(A’)=1

示例：抛硬币时，领先的概率是 1/2，领先的互补事件是得到尾巴，所以得到尾巴的概率是 1/2。

解决方案：

If we sum those two then,
P(Head)+P(Head')=(1/2)+(1/2)=1
Head'= Getting Tail

8. 如果 A 和 B 是 2 个不互斥的事件，那么

• P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
• P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AUB)

注意：当两个事件至少有一个共同的结果时，它们被称为互不排斥。

示例：掷骰子时得到偶数或小于 4 的概率是多少？

解决方案：

Favorable outcomes of getting even number ={2,4,6}
Favorable outcomes of getting number<4 ={1,2,3}
So, there is only 1 common outcome between two events so these two events are not mutually exclusive.

So, we can find P(Even U Number<4)= P(Even) + P(Number<4) - P(Even ∩ Number<4)

P(Even)=3/6=1/2
P(Number<4)=3/6=1/2
P(Even ∩ Number<4)=1/6    (Common element)
P(Even U Number<4)=(1/2) +(1/2)-(1/6)=1-(1/6)=0.83

9. 如果 E ₁ ,E ₂ ,E ₃ ,E ₄ ,E ₅ ,…………E _N是互斥事件，则概率(E ₁ UE ₂ UE ₃ UE ₄ UE ₅ U……UE _N )=P(E ₁ )+P(E ₂ )+P(E ₃ )+P(E ₄ )+P(E ₅ )+…….+P(E _N )。

示例：掷骰子时得到 1 个或 2 个或 3 个数字的概率是多少。

解决方案：

Let A be the event of getting 1 when a die is rolled.
Favorable outcome- {1}
Let B be the event of getting 2 when a die is rolled.
Favorable outcome- {2}
Let C be the event of getting 3 when a die is rolled.
Favorable outcome- {3}
No common favorable outcomes. 

所以，A、B、C 是互斥事件。

根据上述概率规则- P(AUBUC)= P(A) + P(B) + P(C)

P(A)=1/6
P(B)=1/6
P(C)=1/6
P(A U B U C)=(1/6)+(1/6)+(1/6)=3/6=1/2

这些是概率的最重要的基本属性。