最大化具有不超过子序列长度的数组元素的子序列

在计算机科学中，子序列是指从原序列中取出若干个元素，它们在原序列中的相对顺序保持不变，形成的一个新的序列。给定一个数组，我们可以通过选取其中的若干个元素形成一个子序列。我们的目标是从该数组中选取一个子序列，使得该子序列中的元素和最大化，但是子序列的长度不能超过给定的长度。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$，以及一个正整数 $k$，求一个长度不超过 $k$ 的子序列 $b$，满足 $\sum\limits_{i=1}^{|b|} b_i$ 最大。

解法

我们可以考虑使用动态规划来解决这个问题。具体而言，我们设 $f(i, j)$ 表示以 $a_i$ 结尾的长度不超过 $j$ 的子序列的最大和，那么最终的答案即为 $\max\limits_{i=1}^n \max\limits_{j=1}^k f(i, j)$。那么如何求解 $f(i, j)$ 呢？

我们可以考虑对 $f(i, j)$ 进行拆分。显然，$f(i, j)$ 的最后一个元素可能是 $a_i$，也可能不是。如果最后一个元素是 $a_i$，那么我们需要在前 $i-1$ 个元素中选择若干个元素，使得它们的长度不超过 $j-1$，这样才能满足以 $a_i$ 结尾的长度不超过 $j$ 的子序列的定义。因此，我们有 $f(i, j) = \max{ f(p, j-1) } + a_i$，其中 $p < i$ 且 $i-p \leq j-1$。如果最后一个元素不是 $a_i$，那么直接在前 $i-1$ 个元素中选择若干个元素即可，因此我们有 $f(i, j) = \max{ f(p, j) } $，其中 $p < i$ 且 $i-p \leq j$。

综上所述，我们可以得到动态规划的状态转移方程：

$$ f(i, j) = \begin{cases} a_i & j = 1 \ \max{f(p, j-1)} + a_i & 1 < j \leq i \ \max{f(p, j)} & j > i \end{cases} $$

其中 $p < i$ 且 $i-p \leq j-1$ 或 $i-p \leq j$。

最终的答案为 $\max\limits_{i=1}^n \max\limits_{j=1}^k f(i, j)$。

代码实现

下面是动态规划的代码实现：

def max_subsequence(a, k):
    n = len(a)
    f = [[0] * (k+1) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(1, k+1):
            if j == 1:
                f[i][j] = a[i]
            else:
                for p in range(i):
                    if i-p <= j-1:
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[p][j-1] + a[i])
                    else:
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[p][j])
    return max(max(row) for row in f)

该函数的时间复杂度为 $O(n^2 k)$，可以通过本题。