最大化具有不超过子序列长度的数组元素的子序列

在计算机科学中，子序列是一个给定序列中的一系列元素，它们以相同的顺序出现，但未必相邻。本文将介绍一种算法，用于找到一个具有不超过特定子序列长度的数组元素的最大子序列。

算法原理

算法的核心思想是使用动态规划。我们定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示以元素 $i$ 结尾的最大子序列。设 $nums$ 为输入的数组。那么

$$ dp[i]=max(dp[j])+nums[i] $$

其中 $j$ 表示所有的 $j<i$ 且 $i-j-1\leq L$ 的元素，$L$ 为给定的子序列长度。最后，我们需要找到 $dp$ 数组中的最大值，即为最大化具有不超过子序列长度的数组元素的子序列。

代码实现

def max_subseq(nums, L):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i-L, i):
            if j >= 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j])
        dp[i] += nums[i]
        res = max(res, dp[i])
    return res

示例

nums = [1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]
L = 2
print(max_subseq(nums, L)) # 输出 17

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(nL)$，其中 $n$ 为数组长度，$L$ 为给定的子序列长度。