数组中所有对之和的XOR之和

在这里介绍一下如何计算数组中所有对之和的XOR之和。我们先来简单介绍一下XOR运算。

XOR运算

XOR运算，即异或运算，是一种二元运算。它的两个操作数的位中，如果对应位相同则结果的该位为0，否则为1。

XOR运算的符号为^，例如2 ^ 3的结果为1，因为2的二进制表示为10，3的二进制表示为11，按位进行XOR运算后得到01，即1的二进制表示。

计算数组中所有对之和的XOR之和

假设我们有一个长度为n的数组a，它的所有元素都是非负整数。那么我们可以用以下公式计算出所有对之和的XOR之和：

xor_sum = 0
for i in range(n):
    for j in range(i + 1, n):
        xor_sum += a[i] ^ a[j]

这个算法的时间复杂度为$O(n^2)$，因为它对每对元素都进行了XOR运算。

如果我们想要更高效的算法，可以使用一种叫做"异或前缀和"的技巧。我们可以先计算出数组a的异或前缀和prefix_xor，即prefix_xor[i]表示a[0]到a[i]的异或和。然后，我们就可以用以下公式计算出所有对之和的XOR之和：

xor_sum = 0
for i in range(n):
    xor_sum += (prefix_xor[i] ^ a[i]) * (n - i - 1) + prefix_xor[i] * (i + 1)

这个算法的时间复杂度为$O(n)$，因为它只对每个元素进行了一次XOR运算和一次加法运算。

总结

在这篇文章中，我们介绍了XOR运算和如何计算数组中所有对之和的XOR之和。我们还介绍了一种高效的算法，使用了异或前缀和。