套装2 - 其和为2的幂的对的数量

介绍

套装2是一道经典的算法题目，旨在求解以一个整数数组作为输入参数，其中元素可以重复，求出该数组中有多少个不同的数对，其和为2的幂次方。

例如，对于数组[1, 2, 3, 4, 5, 6]，共有三对满足要求的数对，分别为（1, 7）、（2, 6）和（4, 4），其中7、6和4都是2的幂次方。

实现思路

要解决这个问题，我们需要对于给定数组中的每个元素，都找出其能够与哪些其他元素组成和为2的幂次方的数对。这个问题可以用哈希表来解决。

我们可以遍历数组中的每个元素x，然后对于每个可能的2的幂次方y，检查哈希表中是否有对应的数值y-x。如果存在这样的值，那么我们就发现了一对满足要求的数对。

最后，我们需要将所有找到的符合要求的数对求和，得出最终的答案。

下面是这个算法的Python实现示例：

def count_pairs(nums: List[int]) -> int:
    counts = defaultdict(int)
    for x in nums:
        for i in range(22):
            y = (1 << i) - x
            if y in counts:
                counts[y] += 1
        counts[x] += 1

    result = 0
    for count in counts.values():
        result += count * (count - 1) // 2

    return result

时间复杂度

这个算法的时间复杂度是O(n*log(m))，其中n是数组的长度，m是待查找的幂次方的最大值。这个时间复杂度是由于：

• 遍历每个元素需要O(n)时间
• 对于每个元素，需要检查22个可能的2的幂次方，所以需要O(22)=O(log(m))时间查找是否存在对应的数值
• 统计每个数值出现次数需要O(n)时间
• 最后计算结果需要O(m)时间

因此，总的时间复杂度是O(n*log(m))。

空间复杂度

这个算法的空间复杂度是O(n)，其中n是数组的长度，这是因为我们需要用哈希表来存储每个元素的出现次数。如果数组中的元素数量非常大，那么空间复杂度也会随之增大。