多项式回归是线性回归的一种形式，其中将自变量x和因变量y之间的关系建模为n次多项式。多项式回归拟合x的值与y的相应条件均值之间的非线性关系，表示为E(y | x)
为什么多项式回归：
- 研究人员将假设某些关系是曲线关系。显然，此类情况将包含多项式项。
- 检查残渣。如果我们尝试将线性模型拟合到弯曲数据，则预测变量(X轴)上的残差(Y轴)散点图将在中间具有许多正残差的斑块。因此，在这种情况下，这是不合适的。
- 通常的多元线性回归分析中的一个假设是所有自变量都是独立的。在多项式回归模型中，不满足该假设。
多项式回归的用途：
这些基本上用于定义或描述非线性现象，例如：
- 组织的生长速度。
- 疾病流行病的进展
- 湖泊沉积物中碳同位素的分布
回归分析的基本目标是根据自变量x的值对因变量y的期望值进行建模。在简单回归中，我们使用以下方程式–
y = a + bx + e此处y是因变量，a是y截距，b是斜率，e是错误率。
在许多情况下，这种线性模型无法解决问题。例如，如果我们根据发生这种情况的温度分析化学合成的产物，则我们使用二次模型
y = a + b1x + b2^2 + e此处y是x的因变量，a是y截距，e是错误率。
通常，我们可以为第n个值建模。
y = a + b1x + b2x^2 +....+ bnx^n由于回归函数在未知变量方面是线性的，因此从估计的角度来看，这些模型是线性的。
因此，通过最小二乘技术，我们来计算响应值y。
Python的多项式回归：
要获取用于多项式回归分析的数据集，请单击此处。
步骤1：导入库和数据集
导入我们用于执行多项式回归的重要库和数据集。
# Importing the libraries
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
# Importing the dataset
datas = pd.read_csv('data.csv')
datas
步骤2：将资料集分为2个部分
将数据集分为两个部分，即X和yX将包含1到2之间的列。y将包含2列。
X = datas.iloc[:, 1:2].values
y = datas.iloc[:, 2].values
步骤3：将线性回归拟合到数据集
在两个组件上拟合线性回归模型。
# Fitting Linear Regression to the dataset
from sklearn.linear_model import LinearRegression
lin = LinearRegression()
lin.fit(X, y)
步骤4：将多项式回归拟合到数据集
在两个分量X和y上拟合多项式回归模型。
# Fitting Polynomial Regression to the dataset
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
poly = PolynomialFeatures(degree = 4)
X_poly = poly.fit_transform(X)
poly.fit(X_poly, y)
lin2 = LinearRegression()
lin2.fit(X_poly, y)
步骤5：在这一步中，我们使用散点图可视化线性回归结果。
# Visualising the Linear Regression results
plt.scatter(X, y, color = 'blue')
plt.plot(X, lin.predict(X), color = 'red')
plt.title('Linear Regression')
plt.xlabel('Temperature')
plt.ylabel('Pressure')
plt.show()
步骤6：使用散点图可视化多项式回归结果。
# Visualising the Polynomial Regression results
plt.scatter(X, y, color = 'blue')
plt.plot(X, lin2.predict(poly.fit_transform(X)), color = 'red')
plt.title('Polynomial Regression')
plt.xlabel('Temperature')
plt.ylabel('Pressure')
plt.show()
步骤7：使用线性回归和多项式回归预测新结果。
# Predicting a new result with Linear Regression
lin.predict(110.0)
# Predicting a new result with Polynomial Regression
lin2.predict(poly.fit_transform(110.0))
使用多项式回归的优势：
- 它的函数范围很广。
- 多项式基本上适合广泛的曲率范围。
- 多项式提供因变量和自变量之间关系的最佳近似值。
使用多项式回归的缺点
- 这些对异常值过于敏感。
- 数据中存在一两个异常值会严重影响非线性分析的结果。
- 另外，不幸的是，与线性回归相比，用于非线性回归中离群值检测的模型验证工具要少。