期望值

随机变量是为样本空间中的某些结果分配概率的函数。它们在分析现实生活中变得复杂的随机实验时非常有用。这些变量从样本空间中获取一些结果作为输入，并为其分配一些实数。期望是随机变量分析的重要组成部分。它给出了随机变量的平均输出。直观地说，这意味着它给出了当实验无限次重复时随机变量将最频繁抛出的值。

随机变量和期望

随机实验是那些无法确定结果的实验。在这种情况下，只能为结果分配概率。随机变量将结果与某个实数联系起来。例如，考虑掷硬币 3 次的实验。要记住的是，可以根据我们的需要定义一个随机变量，但唯一的条件是，样本空间的每个结果都必须由一个随机变量赋予一个值。

所以，在这种情况下，设 R 是随机变量，在这种情况下，它被定义为，

R = 头数

样本空间 = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

R 为每个结果给出的值如下表所示。

Input	Output
R(HHH)	3
R(HHT)	2
R(HTH)	2
R(HTT)	1
R(THH)	2
R(THT)	1
R(TTH)	1
R(TTT)	0

请注意，随机变量可以将多个结果映射到单个值。

期待

对于随机变量 X，期望给出了当实验重复多次时 X 获得的平均值的概念。由于该值与样本空间中的结果映射。期望值可用于确定当实验重复多次时最有可能发生的结果。

For the random variable X which assumes values x₁, x₂, x₃,…x_n with probability P(x₁), P(x₂), P(x₃), … P(x_n)

The expectation of X is defined as, 

E(x) = $\sum P(x_{i})x_{i}$

期望值

期望在现实生活中有很多用例和应用。保险公司使用这些概念来计算一个人的死亡概率。期望值也用于机会游戏。例如，在玩扑克时，或者可能分析彩票系统。分析师使用它来计算获胜的概率。这个概念也被广泛用于人工智能（AI）领域，以了解现实生活中的场景和行动。

定期人寿保险和死亡概率

考虑一个例子，假设 Akhil 有两个孩子和一个妻子，他想为自己购买保险单，以便在发生任何畸形的情况下，他的家人不必遭受经济损失。他购买了一份价值 500 万卢比的保险单。该政策在未来 20 年内有效，这意味着如果 Akhil 在未来 10 年内发生任何事情，公司将向他的家人支付 500 万卢比。这些类型的保单称为长期人寿保险单。该保单的条件是 Akhil 必须每年支付 50,000 卢比的保费。

在这些情况下，公司如何获利并计算死亡概率？

Akhil 在 10 年内支付的总金额 = 50,000 卢比 × 10

= 5,00,000 卢比

保险单 = 50,00,000

比例变为$\frac{5,00,000}{50,00,000} = \frac{1}{10}$ .这意味着对于 10 卢比的保险，他们将获得 1 卢比的保费。由于他们正在努力赚取利润，因此他们需要至少获得 10 个 Akhils 才能达到收支平衡。在这种情况下，如果每 10 个人中只有一个 Akhil 死亡，公司就可以收支平衡。

所以，如果有概率$\frac{1}{10}$一个候选人去世，公司有10个投保人，不会有亏损也不会盈利。因此，为了盈利

P(Akhil 垂死) ≤ 0.1

从期望值中获取数据

期望值给出随机变量的中心值。这是重复多次实验时随机变量的大部分输出所在的位置。这些值在推断执行此类随机实验时大部分时间缺失的其他变量时会派上用场。可以使用基本代数运算和表达式来检索数据，以计算期望值。下面给出的例子将进一步阐明这种方法。

示例：阿曼的父亲给了他一个骰子。为了检查它是否是一个公平的骰子，他将骰子滚动了 500 次，并在一张纸上记下了表格中获得的值的频率。由于下雨，桌子上的一些值被冲走了。因此，他没有再做所有的实验，而是掷了 20 次骰子，得出的结论是 20 次的期望值为 3.37。下面给出了被冲走的表。找出缺失频率的值。

Die Value	Absolute Frequency
1	A
2	110
3	95
4	70
5	75
6	B
Total	500

解决方案：

Assuming that the expected value remains the same in both 20 and 500 trials. 

Let’s say the random variable “X” is defined as the value obtained on the die. 

X can take values like 1, 2, 3, 4, 5 and 6 

The expected value of a random variable is given by, 

E(x) = $\sum P(x_{i})x_{i}$

 $E(X) = \sum P(x_{i})x_{i} \\ E(X) = P(X = 1)(1) + P(X = 2)2 + P(X = 3)3 + P(X = 4)4 + P(X = 5)5 + P(X = 6)6 \\ E(X) = \frac{A}{500} + \frac{110}{500}.2 + \frac{95}{500}.3 + \frac{70}{500}.4 + \frac{75}{500}.5 + \frac{B}{500}.6 \\$

Substituting the expected value, 

$3.67 = \frac{A}{500} + \frac{110}{500}.2 + \frac{95}{500}.3 + \frac{70}{500}.4 + \frac{75}{500}.5 + \frac{B}{500}.6 \\ 1685 = A + 220 + 285 + 280 + 375 + 6B \\ 525 = A + 6B$

Now this equation has two variables, one more equation is required to solve this.

A + 110 + 95 + 70 + 75 + B = 500 

⇒ A+ B = 150 

So, the two equations are, 

A + B = 150 

A + 6B = 525 

Solving these equations, the values of variables come out to be. 

A =75 and B = 75. 

彩票的预期利润

期望可以用来分析可以从彩票中获得的利润。在这样的游戏中，获胜的机会很小，玩家通常最终会赔钱。通过概率和期望理论，可以计算出在玩此类游戏时可以做出更明智决策的机会和预期利润。

示例：Asif 正在玩彩票，他必须选择两个号码。如果彩票与两个号码相符，他将赢得大奖，即 10005 卢比。如果只有一个数字匹配，他将赢得 1005 卢比的小奖，而彩票的成本为 5 卢比。求出彩票的预期利润。

解决方案 ：

Suppose Asif draws a lottery ticket “04”. Let X be the random variable which represents profit when the “04” ticket was drawn. 

E(X) = P(winning grand prize)(10005 – 5) + P(winning small prize)(1005 – 5) + P(winning nothing)(-5)

Now, the values of these probabilities is required. 

P(winning grand prize) = Both the numbers match 

                                     = $\frac{1}{10}.\frac{1}{10} = \frac{1}{100}$

P(winning a small prize) = Only one of the numbers matches 

                                       = $2.\frac{1}{10}.\frac{9}{10} = \frac{18}{100}$

P(winning neither of these prizes) = No one of the numbers matches 

                                       = $\frac{9}{10}.\frac{9}{10} = \frac{81}{100}$

Substituting these values, 

E(X) = P(winning grand prize)(10005 – 5) + P(winning small prize)(1005 – 5) + P(winning nothing)(-5)

⇒ E(X) = $\frac{1}{100}.10000 + \frac{18}{100}.1000 + \frac{81}{100}.(-5)$

⇒ E(X) = 100 + 180 – 4.05

⇒E(X) = 275.95

钓鱼时的期望值

这是期望值用例的又一个例子。在这种情况下，两个要去钓鱼的朋友之间打赌。甚至在实际捕鱼之前，就可以使用随机变量的期望来分析利润的机会或边际。下面的例子显示了一个这样的事件，即两个朋友去钓鱼并下注鱼之间的赌注。

示例：两个朋友在一个池塘里钓鱼，池塘里有 10 条鳟鱼和 10 条翻车鱼。每次他们钓到一条鱼，他们都会立即把它放回去。他们打了个赌。如果接下来的三条鱼朋友 A 钓到的都是翻车鱼，那么朋友 B 将支付给他 100 卢比，否则，朋友 A 将不得不支付 20 卢比给 B。从赌注中找出预期的利润。

解决方案：

Let X be a random variable denoting the profit from the bet. 

E(X) = P(A catches all three sunfish)(100) + P(A cannot catch all three sunfish)(-20)

Computing the probabilities, 

P(A catches all three sunfish) = $\frac{10}{20}.\frac{10}{20}.\frac{10}{20} = \frac{1}{8}$

P(A doesn’t catch all three sunfish) = 1  – P(A catches all three sunfish)

                                                                = 1 – $\frac{1}{8}$

                                                                = $\frac{7}{8}$

Substituting the values computed above into the expectation equation, 

E(X) = P(A catches all three sunfish)(100) + P(A cannot catch all three sunfish)(-20)

⇒ E(X) = P(A catches all three sunfish)(100) + P(A cannot catch all three sunfish)(-20)

⇒ E(X) = $\frac{1}{8}.100 + \frac{7}{8}.(-20)$

⇒ E(X) = $\frac{-40}{8} = -5$

比较保险与预期价值

保险公司展示了很多计划，并试图引诱客户购买。并非所有计划都对客户有利。一个这样的例子是医疗保险。许多保险公司为了赚取更多利润，制定了有吸引力的计划，但从长远来看实际上并没有好处。在这种情况下，使用预期并计算预期医疗费用变得至关重要。这些方法通常有助于区分计划并就医疗保险做出明智的决定。为了更好地了解这种情况，让我们考虑下面给出的示例。

示例：Vasu 想购买医疗保险计划，但他在 A 计划和 B 计划之间感到困惑。

计划 A：这是一个低免赔额计划，他必须支付任何医疗费用的前 10,000 卢比。此外，为了支付该计划，他每年必须支付 80,000 卢比。

计划 B：这是一个高免赔额的计划，他必须支付前 25,000 卢比的任何医疗费用。此外，为了支付该计划，他每年必须支付 60,000 卢比。

找出这两个计划的预期成本并帮助 Vasu 做出决定。给出了一个表格，其中给出了有关这些医疗费用概率的统计数据。

Medical Cost	Probability
Rs 0	30 %
Rs 10000	25 %
Rs 40,000	20 %
Rs 70,000	20 %
Rs 1,50,000	5 %

解决方案：

Let the random variable X define the expected cost, 

Expected Value for Plan A: 

E(X) = 80,000 + 0 (0.3) + 10000(0.25) + 10000(0.2) + 10000(0.2) + 10000(0.05) 

⇒ E(X) = 80,000 + 2500 + 2000 + 2000 + 500 

⇒ E(X) = 87000 

Expected value for plan B: 

E(X) = 60,000 + 0 (0.3) + 10000(0.25) + 25000(0.2) + 25000(0.2) + 25000(0.05) 

⇒ E(X) = 80,000 + 2500 + 5000 + 5000 + 12500 

⇒ E(X) = 1,05,000

Expected expenses are most in plan B. Thus, Vasu should take plan A. 

让我们看看这些概念上的一些问题。

示例问题

问题 1：求掷骰子时结果的期望值。

解决方案：

Consider X is a random variable that represents the value that comes when a die is rolled. 

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

Now, since the die is a fair die, the probability of getting each outcome is equal. That is $\frac{1}{6}$

E(X) = $\sum x_{i}P(X = x_i)$

⇒ E(X) = P(X = 1)(1) + P(X = 2)(2) + P(X = 3)(3) + P(X = 4)(4) + P(X = 5)(5) + P(X = 6)(6)

⇒ E(X) = $\frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$

⇒ E(X) = 3

问题2：一家公司生产手机。在 100 部手机中，一部出现故障。对于每部手机，该公司可赚取 2,000 卢比的利润，而有故障的手机则损失 10,000 卢比。找到预期的利润。

解决方案：

Let X be expected profit

E() = $\sum x_{i}P(X = x_i)$

⇒ E(X) = P(X = Phone is working)(2000) + P(X = faulty phone)(10,000) 

⇒ E(X) = $\frac{49}{50}.2000 + \frac{1}{50}(-10,000) \\ = 1960 -200 \\ = 1760$

⇒ E(X) = 1760

问题 3：在 3 次抛硬币实验中。找到预期的正面数量。

解决方案：

Let X be the number of heads obtained 

Sample Space = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

E() = $\sum x_{i}P(X = x_i)$

⇒ E(X) =P(X = 0)(0) + P(X = 1)(1) + P(X =2)(2) + P(X = 3)(3)

Finding out the probabilities, 

P(X = 0) = $\frac{1}{8}$

P(X = 1) = $\frac{3}{8}$

P(X = 2) = $\frac{3}{8}$

P(X = 3) = $\frac{1}{8}$

⇒ E(X) = P(X = 0)(0) + P(X = 1)(1) + P(X =2)(2) + P(X = 3)(3)

⇒ E(X) = $\frac{1}{8}. 0 + \frac{3}{8}.1 + \frac{3}{8}.2 + \frac{1}{8}.3$

⇒ E(X) =$\frac{12}{8}$

⇒ E(X) = 1.5

问题 4：两个朋友在一个池塘里钓鱼，池塘里有 5 条鳟鱼和 5 条翻车鱼。每次他们钓到一条鱼，他们都会立即把它放回去。他们打了个赌。如果接下来的三条鱼朋友 A 钓到的都是翻车鱼，那么朋友 B 将支付给他 10 卢比，否则，朋友 A 将不得不支付 2 卢比给 B。从赌注中找出预期的利润。

解决方案：

Let X be a random variable denoting the profit from the bet. 

E(X) = P(A catches all three sunfish)(10) + P(A cannot catch all three sunfish)(-2)

Computing the probabilities, 

P(A catches all three sunfish) = $\frac{5}{10}.\frac{5}{10}.\frac{5}{10} = \frac{1}{8}$

P(A doesn’t catch all three sunfish) = 1 – P(A catches all three sunfish)

                                                                = 1 – $\frac{1}{8}$

                                                                = $\frac{7}{8}$

Substituting the values computed above into the expectation equation, 

E(X) = P(A catches all three sunfish)(10) + P(A cannot catch all three sunfish)(-2)

⇒ E(X) = P(A catches all three sunfish)(10) + P(A cannot catch all three sunfish)(-2)

⇒ E(X) = $\frac{1}{8}.10 + \frac{7}{8}.(-2)$

⇒ E(X) = $\frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

问题 5：求掷骰子时结果的期望值。鉴于骰子不公平，得到 6 的概率为 0.4，其余数字的概率相同。

解决方案：

Consider X is a random variable that represents the value that comes when a die is rolled. 

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

Now, since the die is not fair die, 

P(6) = 0.4 

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 0.12

E(X) = $\sum x_{i}P(X = x_i)$

⇒ E(X) = P(X = 1)(1) + P(X = 2)(2) + P(X = 3)(3) + P(X = 4)(4) + P(X = 5)(5) + P(X = 6)(6)

⇒ E(X) = (0.12)(1) + (0.12)(2) + (0.12)(3) + (0.12)(4) + (0.12)(5) + (0.4)(6)

⇒ E(X) = (0.12)(1 + 2 + 3+ 4+ 5) + 2.4

⇒ E(X) = 1.8 + 2.4 

⇒E(X) = 4.2