连续楼层函数的值

简介

连续楼层函数也叫做底函数连续函数，它是一类特殊的数学函数。连续楼层函数的定义是:

$F(x) = F(floor(x^2)) + x$

其中，$floor(x^2)$表示对$x$的平方取整。

这种函数的特殊之处在于它的值只与整数有关，但是它又是连续的，因此有很多有趣的性质和应用。

性质

1. 连续楼层函数的值只与它的整数部分有关，因此$F(x)$在$x \in [n, n+1)$上是常数。
2. 连续楼层函数是递增的，即$x < y$时，$F(x) < F(y)$。
3. 连续楼层函数是周期性的，周期为$1$，即$F(x+1) = F(x) + 1$。
4. 连续楼层函数具有分段函数的特点，分段点为$x=\sqrt{n}(n\in N)$。

应用

连续楼层函数常用于数学竞赛中的函数题。例如，求解方程$F(x) = 2021$，其中$F(x)$是连续楼层函数。

此外，连续楼层函数还经常被用来构造特殊的图形，比如连续楼层函数的图形具有蜗牛形状，可以用于制作装饰品等。

实现

可以用递归的方式计算连续楼层函数的值。以下是Python实现代码:

def F(x):
    if x < 0:
        return 0
    else:
        return F(int(x**2)) + x

参考资料

1. 连续楼层函数
2. Wolfram MathWorld: Floor Function
3. OEIS A070939: a(n)=floor(x^(n+1)) with x=sqrt(2)