通过交替相邻元素的符号来最大化数组和

给定一个整数数组，我们希望通过交替相邻元素的符号来最大化数组和。更正式地，我们希望找到符号序列 $s$（由 $+1$ 和 $-1$ 构成），使得 $\sum_{i=1}^{n} s_i \cdot a_i$ 最大，其中 $a_i$ 表示数组的第 $i$ 个元素，$n$ 表示数组的长度。例如，对于数组 $[-2, 3, -1, 4, -2]$，符号序列 $[-1, 1, -1, 1, -1]$ 可以得到最大和 $7$。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设 $dp[i][0]$ 表示以 $a_i$ 结尾，最后一个符号为 $+1$ 的最大和，$dp[i][1]$ 表示以 $a_i$ 结尾，最后一个符号为 $-1$ 的最大和。那么状态转移方程为：

$$ dp[i][0] = \begin{cases} a_i, & i = 0 \ \max(dp[i-1][1] + a_i, a_i), & i > 0 \end{cases} $$

$$ dp[i][1] = \begin{cases} -a_i, & i = 0 \ \max(dp[i-1][0] - a_i, -a_i), & i > 0 \end{cases} $$

最终的答案为 $\max(dp[n-1][0], dp[n-1][1])$，其中 $n$ 表示数组的长度。

下面是 Python 的代码实现：

def max_alternate_sum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp0, dp1 = nums[0], -nums[0]
    for i in range(1, n):
        new_dp0 = max(dp1 + nums[i], nums[i])
        new_dp1 = max(dp0 - nums[i], -nums[i])
        dp0, dp1 = new_dp0, new_dp1
    return max(dp0, dp1)

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$，可以通过本题。