最大化圆形阵列中连续差的总和

介绍

假设有 $n$ 个数排成一个圆形阵列，你需要找到相邻两个数的差的绝对值之和的最大值。

解法

假设阵列中的数为 $a_1, a_2, \dots, a_n$，我们可以将阵列的最后一个数 $a_n$ 放到开头，使得阵列变为 $a_n, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$。这个操作不影响相邻两个数的差的绝对值之和，因此我们可以将问题从圆形阵列转化为一个一般的序列。

现在，我们可以使用动态规划来解决问题。假设我们已经处理了前 $i$ 个数，记录 $f_i$ 表示前 $i$ 个数中相邻两个数的差的绝对值之和的最大值。我们接下来考虑加入第 $i+1$ 个数 $a_{i+1}$：

• 如果我们选择不加入 $a_{i+1}$，那么 $f_{i+1}=f_i$；
• 如果我们选择加入 $a_{i+1}$，那么 $f_{i+1}=f_{i-1}+|a_{i+1}-a_{i}|$。

注意到如果 $i=n-1$，我们实际上是将 $a_n$ 作为了起点，因此最后一步转移需要额外考虑 $f_{n-1}+|a_1-a_n|$。

最终的答案就是 $\max{f_i}$。

代码

以下是使用 Python 实现的代码片段：

def max_sum_of_differences_in_circular_array(nums):
    n = len(nums)
    nums = nums[-1:] + nums[:-1]  # 将最后一个数放到开头
    f = [0] * n
    for i in range(1, n):
        f[i] = max(f[i-1], abs(nums[i]-nums[i-1]))
    ans = f[n-1] + abs(nums[0]-nums[n-1])
    f[1] = abs(nums[1]-nums[0])
    for i in range(2, n):
        f[i] = max(f[i-1]+abs(nums[i]-nums[i-1]), f[i-2]+abs(nums[i]-nums[i-2]))
        ans = max(ans, f[i])
    return ans

以上代码的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。